Sujet
Première partie : Des nombres en triangle
Les figures ci-dessous décrivent la construction des premiers « nombres triangulaires».| Étape | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{1}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{2}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{3}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{4}\) |
| Figure | + |  |  |  |
| Nombre de points | 1 point | 3 points | 6 points | 10 points |
| Nombre triangulaire | \(T_{1}=1\) | \(T_{2}=3\) | \(T_{3}=6\) | \(T_{4}=10\) |
Ainsi \(T_{4}\) est le quatrième nombre triangulaire et vaut 10 .
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(T_{n}\) le nombre de points situés à l'intérieur ou au bord du triangle obtenu à la \(n^{\text {ième }}\) étape. Les nombres \(T_{n}\) sont appelés des nombres triangulaires.
- Donner la valeur de \(T_{5}\) et de \(T_{6}\).
- a) Construire la figure de l'étape \(\mathrm{n}^{\circ} 5\) et justifier l'égalité \(2 \times T_{6}-6=6^{2}\).
b) Sans faire explicitement la figure, expliquer comment justifier l'égalité \(2 \times T_{20}-20=20^{2}\).
c) Justifier que pour tout n entier naturel non nul on a : \(T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\). - 2016 est-il un nombre triangulaire?
Deuxième partie : : Des nombres en hexagone
Les figures ci-dessous décrivent la construction des premiers «nombres hexagonaux».| Étape | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{1}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{2}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{3}\) | Étape \(\mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{4}\) |
| Figure | + |  |  |  |
| Nombre de points | 1 point | 6 points | 15 points | 28 points |
| Nombres hexagonaux | \(H_{1}=1\) | \(H_{2}=3\) | \(H_{3}=6\) | \(H_{4}=10\) |
ORLÉANS - TOURS
Deuxième exercice
Série S
Tas de sable, des tas de situations
Énoncé
Dans cet exercice, on verse une quantité de sable maximale sur une plaque horizontale ayant la forme d'un polygone. Selon la nature du polygone, les tas de sable prennent des formes différentes comprenant des sommets et des arêtes.
Figure 1
Plaque rectangulaire
Figure 2
Plaque triangulaire
Figure 3
Plaque «en L»
L'objectif de cet exercice est d'étudier la forme géométrique du tas de sable obtenu pour chacune des trois plaques ci-dessus.
Principe général :
Pour le tas de sable ci-contre :- \(S\) est un sommet du tas de sable
- O est le projeté orthogonal du point S sur le polygone de base
- H est le projeté orthogonal de O sur un coté du polygone.
L'angle \(\widehat{S H O}\) est appelé l'angle de talus.
Sur la figure ci-dessus, \(\widehat{S K O}, \widehat{S^{\prime} L O^{\prime}}, \widehat{S^{\prime} M O^{\prime}}\) sont d'autres angles de talus et le principe physique des tas de sable permet de considérer que l'angle de talus est constant c'est-à-dire que :
\[ \widehat{S H O}=\widehat{S K O}=\widehat{S^{\prime} L O^{\prime}}=\widehat{S^{\prime} M O^{\prime}} . \]
Rappel d'un résultat :
On rappelle que la bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des côtés de l'angle.
Première partie : Des nombres en triangle
Les figures ci-dessous décrivent la construction des premiers « nombres triangulaires».+
\[ T_{1}=1 \]
\(T_{2=3\)}
\(T_{3=6\)}
\(T_{4=10\)}
- \(T_{5}=T_{4}+5=15\) et \(T_{6}=T_{5}+6=21\).
- a) Figure de l'étape \(\mathrm{n}^{\circ} 5\)
On remarque que le carré de coté 6 est obtenu en regroupant le triangle inférieur et le triangle supérieur qui contient autant de points que le triangle inférieur, moins ceux de la diagonale donc \(6^{2}=T_{6}+T_{6}-6\).
b) On remarque de même que le carré de coté 20 est obtenu en regroupant le triangle inférieur et le triangle supérieur qui contient autant de points que le triangle inférieur, moins ceux de la diagonale donc \(20^{2}=2 \times T_{20}-20\).
c) ) on a donc \(n^{2}=T_{n}+T_{n}-n\) donc \(T_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}\).
3. On doit résoudre \(2016=\frac{n^{2}+n}{2}\) soit \(n^{2}+n-4032=0\) on a \(\Delta=16129=127^{2}\) donc \(n=\frac{-1+127}{2}=63\).
Deuxième partie : : Des nombres en hexagone
Ainsi \(H_{4}\) est le quatrième nombre hexagonal et vaut 28. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(H_{n}\) le nombre de points de la figure obtenus à la \(n^{\text {ième }}\) étape. Les nombres \(H_{n}\) sont appelés des nombres hexagonaux.
- Figure obtenue à l'étape \(\mathrm{n}^{\circ} 5\)
\(H_{5}=45\). - On a bien \(T_{4}=10\).
- On obtient \(H_{n}\) en réunissant 4 triangles \(T_{n}\) mais on a alors compté le point O 4 fois au lieu d'une et les points des trois diagonales (sauf O ) ont étés comptés 2 fois au lieu d'une donc \(H_{n}=4 T_{n}-3-3 \times(n-1)= 4 T_{n}-3 \times n\).
- On en déduit que \(H_{n}=4 \times\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right)-3 \times n=2 n^{2}-n\).
- On résout \(2 n^{2}-n-2016=0\)
32 est une solution entière positive donc 2016 est un nombre hexagonal.
6. a) On cherche à résoudre l'équation \(2 n^{2}-n=\frac{p^{2}+p}{2}\) avec \(n\) et \(p\) entiers naturels non nuls soit \(4 n^{2}-2 n= p^{2}+p\) donc \((2 n-p)(2 n+p)=2 n+p\) donc \(2 n-p=1\). On a donc \(p=2 n-1\).
On en déduit que \(H_{n}=T_{2 n-1}\).
On vérifie par exemple que \(H_{3}=T_{5}\)
b) Tout nombre triangulaire n'est pas hexagonal puisque par exemple \(H_{2}=6