On dit qu'un entier naturel \(p\) est premier s'il admet exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Par exemple : 2, 3, 5, 7, 11 sont premiers; 0, 1, 6, 25 ne sont pas premiers.
Théorème (admis) : Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 .
\(n\) se décompose en un produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique, à l'ordre près des facteurs.
Par exemple, la décomposition en facteurs premiers de 245 est : \(245=5 \times 7 \times 7=5 \times 7^{2}\)
On note \(n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}\) la décomposition de \(n\) en facteurs premiers où \(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{k}\) sont des nombres premiers deux à deux distincts et où \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k}\) sont des entiers naturels non nuls.
Par exemple : \(20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}}\) avec \(p_{1}=2\) et \(\alpha_{1}=2 ; p_{2}=5\) et \(\alpha_{2}=1\).
Propriété (admise) : Tout diviseur positif \(d\) de \(n\) est de la forme \(d=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \cdots p_{k}^{\beta_{k}}\) avec \(0 \leqslant \beta_{1} \leqslant \alpha_{1}\) pour tout \(1 \leqslant i \leqslant k\).
Par exemple : 20 possède 6 diviseurs positifs : \(1,2,2^{2}=4,5,2 \times 5=10\) et \(2^{2} \times 5=20\).
Partie A
Donner la décomposition en facteurs premiers de 30 puis de 60 .
Déterminer tous les diviseurs positifs de 30 et de 60 .
En dénombrant toutes les façons possibles de former un diviseur positif de \(n\), montrer que le nombre de diviseurs positifs de \(n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}\) est \(d(n)=\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \cdots\left(\alpha_{k}+1\right)\).
Trouver un nombre entier qui possède exactement 10 diviseurs positifs.
Partie B
On dit qu'un nombre entier est riche s'il peut s'écrire comme différence des carrés de deux entiers naturels. Par exemple, 27 est riche car \(27=6^{2}-3^{2}\).
Trouver trois exemples dentiers riches supérieurs à 10 (justifier la réponse).
a) Décomposer 76 en produit de facteurs premiers.
b) En déduire le nombre de diviseurs positifs de 76 .
c) Justifier que si \(76=a^{2}-b^{2}\) avec \(a\) et \(b\) deux entiers, alors \(a-b\) et \(a+b\) sont des diviseurs pairs de 76 .
d) Montrer que 76 est riche.
Montrer que tout nombre impair est riche.
Montrer qu'un entier \(n\) pair est riche si et seulement si \(n\) comporte au moins deux fois le facteur 2 dans sa décomposition en facteurs premiers.
Donner la liste des entiers compris entre 0 et 50 qui ne sont pas riches.
Diviseurs positifs de \(60: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60\).
3. Soit \(n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}\) et \(d\) un diviseur de \(n\).
Alors \(n=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \cdots p_{k}^{\beta_{k}}\) avec \(0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}\) pour tout \(i \leqslant i \leqslant k\).
On dénombre toutes les façons possibles de former la décomposition de ce diviseur : On a ( \(\alpha_{1}+1\) ) choix pour l'exposant de \(p_{1}\) dans la décomposition de \(d\) (en notant qu'attribuer l'exposant 0 revient à ne pas faire figurer \(p_{1}\) dans la décomposition car \(p_{1}^{0}=1\) ). Puis on a ( \(\alpha_{2}+1\) ) choix pour l'exposant de \(p_{2}\) etc. jusqu'à \(\left(\alpha_{k}+1\right)\) choix pour \(p_{k}\).
Le nombre de diviseurs de \(n\) est donc bien \(d(n)=\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \ldots\left(\alpha_{k}+1\right)\).
4. \(10=2 \times 5=(1+1) \times(4+1)\) donc par exemple \(n=5^{4} \times 2^{1}=1250\) ou \(n=3^{4} \times 2^{1}=162\) conviennent (possèdent exactement 10 diviseurs positifs).
Partie B
Par exemple : \(10^{2}-1^{2}=99 ; 8^{2}-5^{2}=39\) ou \(11^{2}-10^{2}=21\) sont des nombres riches.
a) \(76=2^{2} \times 19\).
b) \(d(76)=(2+1) \times(1+1)=3 \times 2=6\). Il y a donc 6 diviseurs positifs pour 76 .
c) On a : \(76=a^{2}-b^{2}=(a-b) \times(a+b)\).
Or
1- Les entiers \((a-b)\) et \((a+b)\) sont donc des diviseurs de 76, nombre pair.
2- \((a-b)\) et \((a+b b)\) ont même parité.
En effet: \(a+b=(a-b)+2 b\) donc
Si \(a-b\) est pair alors \(a-b=2 k\) avec \(k\) entier, soit \(a+b=2 k+2 b=2(k+b)=2 k^{\prime}\) avec \(k^{\prime}\) entier donc \(a+b\) est pair.
Si \(a-b\) est impair, alors \(a-b=2 k+1\) avec \(k\) entier, soit \(a+b=2 k+1+2 b=2(k+b)+1=2 k^{\prime}+1\) avec \(k^{\prime}\) entier donc \(a+b\) est impair.
Conclusion : \((a+b)\) et \((a-b)\) ont même parité et leur produit est pair ; ils sont donc pairs. On en déduit que ces deux entiers sont des diviseurs pairs de 76.
d) On a démontré que \(76=(a-b)(a+b)\) alors \((a+b)\) et \((a-b)\) sont des diviseurs pairs de 76 . Ceci limite les possibilités à : \(\left\{\begin{array}{l}a-b=2 \\ a+b=38\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=20 \\ b=18\end{array}\right.\right.\).
Ainsi \(76=20^{2}-18 r\) donc 76 est un nombre riche.
3. Soit \(n=2 k+1\) (avec \(k\) entier) un entier impair alors \(n=(k+1)^{2}-k^{2}\) ou \(k+1\) et \(k\) sont bien des entiers naturels. Donc \(n\) est riche et on conclut que tout nombre impair est riche.