Sujet
Informations préliminaires :
A - Distance euclidienne
Soient deux points \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right)\) et \(B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) dans un repère orthonormé.On rappelle que la distance usuelle entre les points \(A\) et \(B\) est donnée par la formule :
\[ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} . \]
Cette distance, notée \(d(A, B)\), est appelée distance euclidienne entre les points \(A\) et \(B\).
B - Distance du taxi
On rappelle que \(|x|\) désigne la valeur absolue de \(x\); par exemple : \(|-3|=3 ;|5|=5,|0|=0\).Pour \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right)\) et \(B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\), on définit \(d_{t}(A, B)\) par: \(d_{t}(A, B)=\left|x_{B}-x_{A}\right|+\left|y_{B}-y_{A}\right|\).
Cette distance, notée \(d_{t}(A, B)\) est appelée distance du taxi entre les points \(A\) et \(B\).
Par exemple, si \(A(0 ; 0)\) et \(B(1 ;-2)\) on a \(d(A, B)=\sqrt{5}\) et \(d_{t}(A, B)=3\).
1. Comparaison de la distance euclidienne et de la distance du Taxi
a) On considère dans un repère orthonormé les points \(A(3 ; 2)\) et \(B(-3 ; 4)\).Calculer et comparer \(d(A, B)\) et \(d_{t}(A, B)\).
b) Reprendre la question a) avec les points \(A(5 ; 2)\) et \(B(5 ; 4)\).
c) D'une manière générale, dans quels cas a-t-on \(d(A, B)=d_{t}(A, B)\) ?
Peut-on avoir \(d(A, B)>d_{t}(A, B)\) ? On pourra s'aider d'un dessin qui représente la distance du taxi entre deux points \(A\) et \(B\) dans un repère orthonormé.
d) Peut-on trouver des points \(A\) et \(B\) distincts tels que \(d_{t}(A, B)=\sqrt{2} \times d(A, B)\) ?
e) Peut-on trouver des points A et B distincts tels que \(d_{t}(A, B)=2 \times d(A, B)\) ?
2. Plans en damier
De nombreuses villes ont des plans d'urbanisme où les rues sont rectilignes et se croisent à angle droit, créant des îlots de forme carrée. On peut citer le centre-ville du Havre et le plan de Manhattan.
1. Comparaison de la distance euclidienne et de la distance du Taxi
a) On considère dans un repère orthonormé les points \(A(3 ; 2)\) et \(B(-3 ; 4)\).alors \(d(A, B)=\sqrt{(-3-3)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\) et \(d_{t}(A, B)=|-3-3|+|4-2|=6+2=8\).
Ainsi \(d(A, B)
Ainsi \(d(A, B)=d_{t}(A, B)\).
c) En construisant un triangle ABC rectangle en C dont les côtés sont parallèles aux axes du repère, on remarque que \(d(A, B)\) représente l'hypoténuse \(A B\) et \(d_{t}(A, B)\) représente la somme des côtés \(A C+B C\); il s'agit donc de comparer l'hypoténuse et la somme des cotés dans un triangle rectangle. On peut aussi revenir aux formules : \(d(A, B)=d_{t}(A, B)\) lorsque \(x_{A}=x_{B}\) ou \(y_{A}=y_{B}\).
En effet, \(d(A, B)=d_{t}(A, B) \Leftrightarrow \sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\left|x_{B}-x_{A}\right|+\left|y_{B}-y_{A}\right|\).
Alors \(\left(\sqrt{\left.x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)}\right)^{2}=\left(\left|x_{B}-x_{A}\right|+\left|y_{B}-y_{A}\right|\right)^{2}\), ce qui entraîne
\[ \left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+2 \times\left|x_{B}-x_{A}\right| \times\left|y_{B}-y_{A}\right|+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2} \]
en développant, et donc \(\left|x_{B}-x_{A}\right| \times\left|y_{B}-y_{A}\right|=0\). Autrement dit, on obtient une équation produit nul qui nous permet de conclure que si \(d(A, B)=d_{t}(A, B)\), alors \(x_{A}=x_{B}\) ou \(y_{A}=y_{B}\). Inversement, si \(x_{A}=x_{B}\) ou \(y_{A}=y_{B}\) alors \(d(A, B)=d_{t}(A, B)\).
On ne peut pas avoir \(d(A, B)>d_{t}(A, B)\) puisque, de la même manière que précédemment, cela entraînerait \(\left|x_{B}-x_{A}\right| \times\left|y_{B}-y_{A}\right|\), ce qui est impossible par définition des valeurs absolues.
d) On peut observer que dans un carré de côté 1 , la diagonale mesure \(\sqrt{2}\). Il suffit donc de prendre \(\mathrm{A}(1 ; 0)\) et \(\mathrm{B}(0 ; 1)\), on a alors \(d(A, B)=\sqrt{2}\) et \(d_{t}(A, B)=2\); comme \(\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2\), on en déduit que \(d_{t}(A, B)= \sqrt{2} \times d(A, B)\).
e) Peut-on trouver des points A et B distincts tels que \(d_{t}(A, B)=2 \times d(A, B)\) ?