Sujet
La maman de Romain et Sophie est secouriste en montagne. Elle possède une balise ainsi qu'un récepteur qui indique à tout moment la distance qui le sépare de la balise. Romain a caché la balise dans un pré et Sophie doit la retrouver en utilisant le récepteur.
On représente le pré par un repère orthonormé d'origine \(O\). Au départ, Sophie se trouve sur le point \(O\).
- Lorsque Sophie est au point \(O\), la distance indiquée par le récepteur est de 5 mètres. Quel est l'ensemble des positions possibles de la balise? Dessinez cet ensemble (en prenant 1 cm pour 1 m ).
- Sophie se déplace maintenant sur le point \(A(1,0\) et observe sur son récepteur une distance de 4,5 mètres. Quelles sont les positions possibles de la balise ? Dessinez cet ensemble.
Romain cache maintenant la balise dans un nouvel emplacement inconnu. Dans la suite, on note \(M(x, y)\) la position de la balise. - Exprimez la distance entre la balise et le point \(O\) en fonction de \(x\) et \(y\).
- Même question pour la distance entre la balise et le point \(A(1,0)\).
- Lorsqu'elle est au point \(O\), Sophie observe la distance \(a\) sur son récepteur. Lorsqu'elle est au point \(A(1,0)\), elle observe la distance \(b\). Quelle est l'abscisse \(x\) de la balise en fonction de \(a\) et \(b\) ?
- Proposez une méthode pour retrouver la position \(M(x, y)\) de la balise, en vous inspirant des calculs précédents.
C'est maintenant Sophie qui cache la balise, et c'est au tour Romain de la trouver. Il voudrait utiliser une méthode sans calcul.
7. Montrez que l'abscisse de la balise coïncide avec le point de la droite des abscisses où la distance avec la balise est minimale.
8. En déduire une méthode sans calcul pour retrouver la position de la balise.
Remarque :
En cas de sortie en montagne, les randonneurs sont équipés de balises qui permettent aux secouristes de les retrouver en cas d'avalanche. La méthode utilisée par les secouristes pour les retrouver s'appuie sur les outils mathématiques développés dans la dernière partie de cet exercice.- L'ensemble des positions possibles de la balise est l'ensemble des points dont la distance à \(O\) est 5 m , soit le cercle de centre O et de rayon 5 .
- La balise se trouve aussi sur le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4,5 \mathrm{~m}\). Elle se trouve donc en l'un des deux points d'intersection de ces deux cercles.
- La distance de \(M\) à \(O\) est \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).
- La distance de \(M\) à \(A\) est \(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\).
- On doit donc résoudre le système : \(\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =a^{2} \\ (x-1)^{2}-y^{2} & =b^{2}\end{aligned}\right.\)
En retranchant les deux équations, on fait disparaître \(y\), et l'on obtient:
\[ x^{2}-(x-1)^{2}=a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow 2 x-1=a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow x=\frac{a^{2}-b^{2}+1}{2} . \]