Sujet
On positionne dans un repère orthonormé du plan, des jetons comme illustré ci-dessous. Les jetons sont placés sur des points à coordonnées entières.
On les numérote ensuite en partant du jeton positionné en \((0,1)\) :
- Quelles sont les coordonnées du jeton numéro 2016 ?
- Quel est le numéro porté par le jeton positionné au point de coordonnées \((1998,2016)\) ?
La suite de nombres formée par les numéros des pions de l'extrémité droite de chacune des lignes, correspond à la suite de terme général \(n^{2}\) pour \(n \geqslant 1\), ce qui revient à remarquer que le pion situé à l'extrémité droite de la ligne de pions portée par la droite d'équation \(y=n\) avec \(n \geqslant 1\) porte le numéro \(n^{2}\) et sont situés sur la droite d'équation \(y=x+1\).
- Quelles sont les coordonnées du jeton numéro 2016 ?
Puisque \(44^{2}=1936\) et \(45^{2}=2025\), le pion numéroté 2016 se situe sur la même ligne que le pion numéroté 2025.
Le pion numéroté 2025 a pour coordonnées \((44,45)\), donc l'ordonnée du pion numéroté 2016 sera 45 et son abscisse sera ainsi de 35 .
Ainsi, le pion numéroté 2016 sera au point de coordonnées \((35,45)\).
2. Quel est le numéro porté par le jeton positionné au point de coordonnées \((1998,2016)\) ?
Le pion situé en \((1998,2016)\) est situé sur la ligne se terminant par \(2016^{2}=4064256\) puisque appartenant à la droite d'équation \(y=2016\).
L'abscisse du pion numéroté \(2016^{2}\) est donc 2015 . Le numéro du pion situé en \((1998,2016)\) s'obtient à partir du calcul \(2016{ }^{2}\) - (2015-1998).
Le pion situé en \((1998,2016)\) est donc le pion numéroté 4064239