Exercice 2 — Nombres magiques

Remarque: Les chiffres d'un nombre magique sont toujours non nuls.

1. Trouver tous les nombres magiques à 2 chiffres.

Soit \(a\) et \(b\) les deux chiffres (non nuls) d'un nombre magique à 2 chiffres.
\(a b=a+b\) équivaut à \((a-1)(b-1)=1\). On en déduit que \(a=b=2\).
On vérifie alors de suite que 22 est bien un nombre magique ( \(2+2=2 \times 2\) ).
Le seul nombre magique à 2 chiffres est 22 .
2. Trouver tous les nombres magiques à 3 chiffres.

Soit \(a, b\) et \(c\) les trois chiffres (non nuls) d'un nombre magique à 3 chiffres.
On peut supposer que \(a \leqslant b \leqslant c\).

• Si \(a \geqslant 3\), alors \(a b c \geqslant 27\) et \(a+b+c \leqslant 27\). De plus, si \(a b c=27\), alors \(a+b+c=9\).

Nécessairement, \(a=1\) ou \(a=2\).

• Si \(a=2\), avec \(2 \leqslant b \leqslant c\) :
  \(2 b c=2+b+c\) implique \((2 b-1)(2 c-1)=5\) puis \(b=1\) et \(c=3\), ce qui n'est pas admissible vu que \(2 \leqslant b \leqslant c\).
• Si \(a=1\), avec \(1 \leqslant b \leqslant c\) :
  \(b c=1+b+c\) implique \((b-1)(c-1)=2\) puis \(b=2\) et \(c=3\).
  On vérifie : \(1+2+3=1 \times 2 \times 3\).
  Les nombres magiques à 3 chiffres sont les six nombres écrits avec les trois chiffres 1,2 et \(3: 123,132\), 213, 231, 312 et 321.

1. On s'intéresse désormais à certains nombres magiques qui s'écrivent avec 4 chiffres ou plus. Existe-t-il un nombre magique à 10 chiffres? Si oui, en donner un exemple.

Si \(N\) est un nombre magique à 10 chiffres, on nomme \(S\) (resp. \(P\) ) la somme (resp. le produit) de ses chiffres. Les deux inégalités \(S \leqslant 90\) et \(2^{7}>90\) impliquent que l'écriture de \(N\) comporte au moins 4 chiffres 1 .
Alors \(S \leqslant 6 \times 9+4\) et \(2^{6}>58\) impliquent que l'écriture comporte au moins 5 chiffres 1 .
On peut donc penser écrire un nombre \(N\) à dix chiffres avec un maximum de chiffres 1 .
Avec 10 chiffres 1, le produit est de 1 et la somme de 10 . Pas de solution.
Avec 9 chiffres 1 et un chiffre différent \(a\), le produit est de \(a\) et la somme de \(a+9\). Pas de solution.
Avec 8 chiffres 1 et 2 chiffres \(a\) et \(b\), le produit est de \(a b\) et la somme de \(a+b+8\).
L'égalité \(a+b+8=a b\) implique \((a-1)(b-1)=9\) puis \(a=4\) et \(b=4\).
On vérifie immédiatement que 44111111111 est bien un nombre magique.
Par recherche exhaustive des cas où avec un traitement algorithmique, on peut démontrer que tout nombre magique à 10 chiffres s'écrit avec 2 chiffres 4 et 8 chiffres 1 .
4. Les symboles \(\alpha\) et \(\beta\) sont des chiffres qui représentent des nombres strictement supérieurs à 1 .

Quel est le plus grand nombre magique qui s'écrit sous la forme : \(\alpha \beta 1 \ldots(\) que des 1\() \ldots 1\) ?
Si \(N=\alpha \beta 1 \ldots\) que des \(1 \ldots 1\) est un nombre magique, on considère que \(\alpha \neq \beta\) et on note \(p\) le nombre de 1.
\(\alpha+\beta+p=\alpha \times \beta\) équivaut à \((\alpha-1)(\beta-1)=p+1\).