Sujet
Un triangle du plan est défini par les longueurs de ses trois côtés. Dans tout l'exercice, l'unité choisie est le cm .
Deux triangles qui ont la même aire et le même périmètre sont appelés triangles frères. Deux triangles qui ont les mêmes longueurs de côtés seront appelés frères jumeaux.
Exemple :
Ces deux triangles sont frères jumeaux.
Des triangles frères jumeaux sont évidemment des frères, mais existe-t-il des triangles frères qui ne soient pas jumeaux? Cet exercice se propose d'étudier certains cas possibles.
Notations : Dans un triangle ABC on appellera \(a, b\) et \(c\) les longueurs de \([\mathrm{BC}],[\mathrm{AC}]\) et \([\mathrm{AB}]\).
\(p\) est le périmètre
\[ p=a+b+c \]
\(A\) est l'aire du triangle
\[ \frac{\text { base × hauteur }}{2} \]
1. Cas des triangles équilatéraux
On considère un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 4 .Parmi les triangles équilatéraux, peut-on trouver un frère de ce triangle qui ne soit pas son jumeau? Si oui, donner la longueur de ses côtés.
2. Cas des triangles rectangles
On considère un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 .a) Parmi les triangles rectangles, peut-on trouver un frère de ce triangle dont un des côtés mesure 3 et qui ne soit pas son jumeau? Si oui, donner la longueur de ses côtés.
b) Parmi les triangles rectangles, peut-on trouver un frère de ce triangle dont un des côtés mesure 5 et qui ne soit pas son jumeau? Si oui, donner la longueur de ses côtés.
1. Cas des triangles équilatéraux
Il est facile de montrer que si le périmètre d'un triangle équilatéral est fixé, le côté est fixé. Il n'y a donc qu'un seul triangle équilatéral possible pour un périmètre donné. Pas de frère pour un équilatéral, sauf luimême et ses jumeaux si on considère le triangle comme un ensemble de points d'emplacements déterminés dans le plan et non pas comme une forme.2. Cas des triangles rectangles
Appelons TRI un triangle rectangle de côté de longueurs \(3,4,5\). Son périmètre vaut 12 , son aire vaut 6 .a) Soit ABC un triangle rectangle dont un des côtés mesure 3 .
Supposons que \(a=3\) (avec les notations de l'énoncé)
Trois cas sont possibles :
- \(c\) est l'hypoténuse ;
alors on doit avoir les relations :
\[ \begin{aligned} & 3+b+c=12 \\ & 3 b=12 \\ & 9+b^{2}=c^{2} \end{aligned} \]
Il est immédiat que \(b=4\) et donc que \(c=5\).
Le triangle ABC est un jumeau de TRI.
- \(b\) est l'hypoténuse ;
alors on doit avoir les relations :
\[ \begin{aligned} & 3+b+c=12 \\ & 3 c=12 \\ & 9+c^{2}=b^{2} \end{aligned} \]
Ce qui revient au cas précédent en remplaçant \(c\) par \(b\).
- \(a\) est l'hypoténuse ;
alors on doit avoir les relations :
\[ \begin{aligned} & 3+b+c=12 \\ & b c=12 \\ & b^{2}+c^{2}=9 \end{aligned} \]
donc \((b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=9+24=33\)
or \((b+c)^{2}=9^{2}=81\), ce qui amène une contradiction, ce cas est impossible.
La contradiction peut aussi provenir du fait que l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre du cercle circonscrit et qu'une corde est inférieure au diamètre, donc le périmètre doit être inférieur à \(3 \times 3=9\).
Conclusion : ABC est un frère jumeau de TRI.
b) Soit ABC un triangle rectangle dont un des côtés mesure 5 .
Supposons que \(a=5\) (avec les notations de l'énoncé)
Les trois mêmes cas sont possibles :
- \(c\) est l'hypoténuse ;
alors on doit avoir les relations :
\[ \begin{aligned} & 5+b+c=12 \\ & 5 b=12 \\ & 25+b^{2}=c^{2} \end{aligned} \]
Il est immédiat que \(b=2,4\) et donc que \(c=4,6\). Ce qui est contradictoire avec le fait que \(c\) soit l'hypoténuse.
- \(b\) est l'hypoténuse.
Même cas que le cas précédent en remplaçant \(c\) par \(b\).
- a est l'hypoténuse ;
alors on doit avoir les relations :
\[ \begin{aligned} & 5+b+c=12 \\ & b c=12 \\ & b^{2}+c^{2}=25 \end{aligned} \]
La résolution du système formé par les deux premières équations aboutit à une équation du second degré dont les solutions sont 3 et 4 .
Le triangle ABC est donc un jumeau de TRI.
Autre manière de le montrer : tracer le cercle de diamètre \(B C=5\), construire le triangle TRI tel que \([\mathrm{TR}]=[\mathrm{BC}], T I=3\) et \(R I=5\), et considérer que ABC et TRI doivent avoir même hauteur. Les deux triangles seront donc symétriques par rapport à ( \(B C\) ) ou au diamètre perpendiculaire à ( \(B C\) ), ou encore au milieu de \([\mathrm{BC}]\). TRI et ABC sont donc isométriques.
Conclusion : ABC est un frère jumeau de TRI.
3. Cas des triangles isocèles
Soit le triangle TRI de côtés 5, 5 et 6. Sa hauteur mesure \(h=\sqrt{25-9}=4\).Alors \(p=16\) et \(A=12\).
Soit ABC un triangle isocèle de côtés \(a, b, b\) et de sommet principal C .
Sa hauteur mesure \(h=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}\).
On a donc :
\(2 b+a=16\)
\(a \sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=24\).
Ces égalités amènent à une équation du troisième degré : \(a^{3}-8 a^{2}+72=0\).
Nous connaissons déjà une solution du problème, qui est \(a=6\).
Le polynôme est donc factorisable par \(a-6\) :
\[ (a-6)\left(a^{2}-2 a-12\right)=a^{3}-8 a^{2}+72 . \]
Il reste à résoudre : \(a^{2}-2 a-12=0\).
Les solutions sont : \(1+\sqrt{13}\) et \(1-\sqrt{13}\).
La première solution est acceptable. Le triangle ABC dont les mesures sont \(1+\sqrt{13}, \frac{15-\sqrt{13}}{2}, \frac{15-\sqrt{13}}{2}\) est un frère isocèle non jumeau de TRI.
Remarque : d'autres méthodes sont envisageables, montrant l'existence du frère sans calculer précisément la longueur des côtés. Par exemple l'étude à la calculatrice de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^{3}-8 x^{2}+72\) peut montrer qu'elle possède trois racines, dont deux sont positives.