Sujet
M. et Mme Bourbaki assistent au congrès international des Mathématiques. Quatre autres couples partagent leur table. Avant le repas, un certain nombre de poignées de mains sont échangées. Bien évidemment, personne ne se serre la main à lui-même. Les époux ne se serrent pas la main entre eux. Et deux personnes autour de la table se serrent la main au plus une fois.
Mme Bourbaki, qui est très observatrice, remarque que les 9 autres personnes autour de la table ont échangé des nombres de poignées de main tous différents.
Combien de poignées de main ont échangé M. et Mme Bourbaki ?
- Préciser le nombre maximum et le nombre minimum de poignées de main qu'une personne donnée peut échanger.
- Expliquer pourquoi la personne qui a échangé 8 poignées de mains est en couple avec la personne qui en a échangé zéro, et pourquoi cette personne n'est ni M. ni Me Bourbaki.
- Répondre à la question posée en justifiant la réponse On pourra s'aider du graphique suivant. Les points représentent les personnes présentes autour de la table, les losanges représentent M. et Mme Bourbaki.
- Une personne donnée ne serre pas la main à son conjoint, ni à elle même. Il y a 10 personnes en tout, chaque personne a serré au plus 8 poignées de mains.
Et au minimum, une personne (très impolie ou très sauvage...) a pu ne serrer aucune poignée de main.
Les nombres de poignées de mains sont donc les éléments de l'ensemble \(0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\). Cet ensemble comporte 9 éléments, pour 10 personnes. Donc au moins deux personnes ont serré le même nombre de poignées de mains.
Comme toutes les personnes autres que Mme Bourbaki ont serré un nombre différents de poignées de mains, c'est Mme Bourbaki qui a serré le même nombre de poignées de mains qu'une autre personne.
2. Une personne a serré 8 poignées de mains. La seule personne qui n'a pas été saluée est donc son conjoint, et toutes les autres personnes ont donc serré au moins une poignée de mains. Le conjoint de la personne qui a serré 8 poignées de mains a serré zéro poignée de mains.
Si deux personnes avaient serré 8 poignées de mains, personne n'aurait pu en serrer zéro. Et si deux personnes avaient serré zéro poignée de mains, personne n'aurait pu en serrer 8. Donc ce n'est pas Mme Bourbaki ou M. Bourbaki qui ont serré zéro et huit poignées de mains.
3. Un raisonnement équivalent montre qu'une personne a serré 7 poignées de mains, que son conjoint n'en a serré qu'une, et qu'aucune de ces deux personnes n'est Mme ou M. Bourbaki. La personne qui a serré 6 poignées de mains a pour conjoint la personne qui en a serré 2 , et la personne qui en a serré 5 a pour conjoint la personne qui en a serré 3 . On peut alors compéter le graphe suivant, en représentant les poignées de mains par des segments. On montre alors que Mme Bourbaki, comme M. Bourbaki, ont serré chacun 4 poignées de mains.
