Sujet
Dans le problème suivant, on s'intéresse aux plus hauts sommets de deux îles voisines Anjouan et Mayotte. La figure ci-dessous représente une coupe de la sphère terrestre par un plan passant par son centre O . On y a marqué les points B et N représentant les sommets respectifs du Mont Bénara à Mayotte et du Mont Ntringui à Anjouan. On donne le rayon terrestre \(R=6370 \mathrm{~km}\). On indique d'autre part que le Mont Bénara culmine à l'altitude \(A B=660 \mathrm{~m}\) et le Mont Ntringui à l'altitude \(M N=1595 \mathrm{~m}\). La distance \(A M\) est de 108 km , cette distance correspondant à la mesure de l'arc de cercle \(A M\) indiqué sur la figure.
- a) Depuis le sommet B du Mont Bénara, à quelle distance \(d\) en \(k m\) à \(10^{-1}\) près sont les points qui comme le point D sur la coupe sont situés à l'horizon, au niveau de la mer?
b) Calculer la mesure en degré de l'angle \(\widehat{A O D}\) à \(10^{-2}\) près, puis en déduire la longueur de l'arc \(A D\).
c) Calculer la différence en mètres à \(10^{-2}\) près entre la distance \(d\) et la longueur de l'arc \(A D\). - Donner un encadrement de l'altitude des points situé sur les parois du Mont Ntringui et visibles depuis le sommet B , on arrondira au mètre près.
- a) Dans le triangle BOD rectangle en D , d'après le théorème de Pythagore :
\(O B^{2}=O D^{2}+B D^{2}\)
d'où
\(d=\sqrt{6370,66^{2}-6370^{2}}\) d'où \(d \approx 91,7 \mathrm{~km}\)
b) \(\operatorname{mes}\left((\widehat{A O D})=\cos ^{-1}\left(\frac{O D}{O B}\right)\right.\)
\(\operatorname{mes}(\widehat{A O D})\) approx0,0144 rad
\(\operatorname{mes}(\widehat{A O D}) \approx 1,65^{\circ}\)
c) \(\operatorname{arc}(A D)=\cos ^{-1}\left(\frac{O D}{O B}\right) \times 6370\)
\(\operatorname{arc}(A D) \approx 91,6934 \mathrm{~km}\)
D'où \(d-\operatorname{arc}(A D) \approx 6,33 \mathrm{~m}\)
2. \(\operatorname{mes}(\widehat{D O M})=\operatorname{mes}(\widehat{A O M})-\operatorname{mers}(\widehat{A O D})=\frac{A M}{6370}-\cos ^{-1}\left(\frac{O D}{O B}\right)\)
\(\operatorname{mes} \widehat{D O M} \approx 0,055 \mathrm{rad} \approx 0,64\).
Si on appelle H le point d'intersection des droites \((\mathrm{BD})\) et \((\mathrm{ON})\), alors on a :
\(O H=\frac{O D}{\cos \widehat{D O M}}\)
\(O H \approx 6370,0978 \mathrm{~km}\)
On en déduit que l'altitude des points situé sur les parois du Mont Ntringui visibles depuis le sommet B sera comprise entre 98 m et 1595 m .