Exercice 1 — Triplets pythagoriciens — Olympiades 2016 Mayotte

Sujet

Une définition préliminaire.

Un triplet d'entiers naturels ( \(a, b, c\) ) est dit triplet Pythagoricien lorsque \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\).
Par exemple : \((3,4,5)\) est un triplet Pythagoricien.
L'exercice a pour objectif de mettre en évidence des méthodes pour trouver des exemples de triplets pythagoriciens.

Une solution moderne
a) Montrer que pour tous nombres réels \(x\) et \(y\) on a l'égalité suivante

\[ \left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+(2 x y)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \]

b) En déduire deux exemples de triplets Pythagoriciens.

2. La solution de Fibonacci.

La solution générale est difficile et trop longue ! Pour la faire découvrir, nous l'abordons sur des exemples. L'idée principale est d'écrire un nombre carré sous la forme d'une somme de nombres impairs.
A) Considérons le nombre carré 1764. Il est pair, de moitié 882 . On peut donc écrire : \(\mathbf{1 7 6 4}=\mathbf{8 8 1}+\mathbf{8 8 3}\). On pose \(\boldsymbol{A}=\mathbf{1}+\mathbf{3}+\mathbf{5}+\cdots+\mathbf{8 7 9}\) et \(\boldsymbol{B}=\mathbf{1}+\mathbf{3}+\mathbf{5}+\cdots+\mathbf{8 8 1}+\mathbf{8 8 3}\).
a) Écrire 1764 à l'aide de \(A\) et de \(B\).
b) En utilisant les résultats sur les suites, écrire 1764 comme différence de deux carrés ; en déduire un triplet Pythagoricien.
B) Considérons le nombre carré 225 . Il est divisible par 3 . On peut l'écrire \(\mathbf{2 2 5}=\mathbf{7 3}+\mathbf{7 5}+\mathbf{7 7}\).
a) Proposer deux sommes de nombres impairs \(A\) et \(B\) comme dans l'exemple précédent et écrire 225 à l'aide de \(A\) et \(B\).
b) Écrire 225 comme différence de deux carrés ; en déduire un triplet Pythagoricien.

L'exercice a pour objectif de mettre en évidence des méthodes pour trouver des exemples de triplets pythagoriciens.

Une solution moderne
a) ) Il suffit de développer les deux membres et trouver le même résultat.
b) \(a=1 b=2:\left(1^{2}-2^{2}\right)^{2}+(2 \times 1 \times 2)^{2}=\left(1^{2}+2^{2}\right)^{2}\) soit \(3^{2}+4^{2}=5^{2}\).
\(a=2 b=3:\left(1^{2}-3^{2}\right)^{2}+(2 \times 2 \times 3)^{2}=\left(1^{2}+3^{2}\right)^{2}\) soit \(5^{2}+12^{2}=13^{2}\).
Deux triplets Pythagoricien : \((3,4,5)\) et \((5,12,13)\).
La solution de Fibonacci.
A) a) \(1764=B-A\).
b) La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par
nombre de terme × la moyenne des termes
d'où D'où : \(A=440^{2}\) et \(B=442^{2}\).
Donc \(1764=442^{2}-440^{2}\) soit \(42^{2}=442^{2}-440^{2}\)
D'où le triplet Pythagoricien ( \(42,440,442\) ).)
B) Considérons le nombre carré 225 . Il est divisible par 3 . On peut l'écrire \(\mathbf{2 2 5}=\mathbf{7 3}+\mathbf{7 5}+\mathbf{7 7}\).
a) On pose \(A=1+3+\cdots+71\)
\(B=1+3+\cdots+75+77\)
\(225=B-A\).
b) \(A=36^{2}\) et \(B=39^{2}\) d' où \(225=39^{2}-36^{2}\) soit \(15^{2}=39^{2}-36^{2}\)

Donc (15, 36, 39) est un triplet Pythagoricien.