Exercice 1 — Les boîtes

1. On peut les trier en 3 manœuvres:
   \(1^{\text {ère }}\) manœuvre avec les deux premières, on obtient : ac d b ;
   \(2^{\text {ème }}\) manœuvre avec les deux dernières, on obtient : ac b d ;
   \(3^{\text {ème }}\) manœuvre avec celles des rangs 2 et 3 , on obtient l'ordre demandé : a b c d .
   Il y a d'autres possibilités, par exemple : les deux premières, puis les trois dernières et enfin les deux dernières.
2. a) Il y a 6 ordres possibles pour les 3 boites : \(a b c\); \(a c b\); \(b a c\); \(b c a\); \(c a b\), \(c b a\).

On obtient l'ordre « abc », en une manœuvre des 3 boites avec l' ordre « c b a», en une manœuvre des deux premières avec l'ordre «b a c», en une manœuvre des deux dernières avec l'ordre « a c b ». Seuls trois ordres peuvent donner en seule manœuvre l'ordre «abc».
Deux ordres ne peuvent permettre d'obtenir «abc» en une manœuvre: «bca» et «cab».
Il n'est pas toujours possible de trier les 3 boites pour obtenir l' ordre « abc ».
b) D'après la question précédente, les deux ordres «bca» et «cab» qui ne permettent pas d'obtenir «a bc » en une manœuvre le permettent en deux manœuvres.
Avec «bca», par une première manœuvre sur les 3 boites, on obtient «acb», puis sur les deux dernières, on obtient l'ordre voulue.
On opère de même avec «c a b», première manœuvre sur les 3 boites : «b a c» puis deuxième manœuvre sur les deux premières pour obtenir l'ordre voulue.
Il est donc possible de trier les 3 boites en au plus 2 manœuvres.
3. Si la dernière boite de l'ordre voulue est déjà bien placée en dernière position, d'après la question précédente, on peut trier les trois premières en au plus deux manœuvres pour obtenir l'ordre voulue.
Si la dernière boite est placée à un autre rang, en inversant les boites à partir de ce rang, on fait une première manœuvre qui ramène cette boite au dernier rang et on opère comme précédemment.
On peut donc toujours trier 4 boites en au plus 3 manœuvres.