Exercice 2 — Nombres tri-tri — Olympiades 2016 Lyon

Sujet

Les nombres tri-tri sont les entiers positifs de trois chiffres dont les seuls chiffres possibles sont 1,2 ou 3 . Par exemple 123 et 122 sont des nombres tri-tri mais pas 142.

Démontrer qu'il existe 27 nombres tri-tri distincts.

Trois nombres tri-tri distincts forment un trident si et seulement si pour les trois positions possibles (unités, dizaines, centaines), leurs trois chiffres sont soit égaux, soit tous distincts.
121, 122 et 113 ne constituent pas un trident car les chiffres des dizaines ne sont ni tous égaux ni tous distincts bien que les chiffres des centaines soient tous égaux et que les chiffres des unités soient tous différents.
Il existe trois sortes de tridents : trident2, trident1, trident0.

121, 122 et 123 constituent un trident2 : les chiffres des trois nombres sont égaux pour deux positions sur trois
123,222 et 321 constituent un tridentl : les chiffres des trois nombres sont égaux pour une position sur trois
123,231 et 312 constituent un trident0 : les chiffres des trois nombres sont tous différents pour trois positions sur trois

a) On considère les nombres tri-tri 122 et 323 . Combien de nombre(s) tri-tri peut-on leur associer pour former un trident? Écrire ce(s) nombre(s).
b) Montrer que si on a deux nombres tri-tri, on ne peut leur associer qu'un unique nombre tri-tri pour former un trident.

On suppose qu'on choisit au hasard, successivement et sans remise, trois nombres distincts dans l'ensemble des nombres tri-tri.
3. a) Si on tient compte de l'ordre des tirages, montrer qu'on peut obtenir six tridents constitués des mêmes nombres.
b) Démontrer qu'il existe 117 tridents distincts (si l'on ne tient pas compte de l'ordre des tirages).
4. On suppose qu'on choisit au hasard un trident parmi l'ensemble des tridents.
a) Combien existe-t-il de tridents du type trident2 ? En déduire la probabilité d'avoir un trident2.
b) Quelle est la probabilité d'avoir un trident1 ?
c) Quelle est la probabilité d'avoir un trident0 ?
5. Cette question peut être traitée indépendamment des autres.
a) Trouver un ensemble de 8 nombres tri-tri à partir desquels on ne peut former aucun trident.
b) Trouver un ensemble de 9 nombres tri-tri à partir desquels on ne peut former aucun trident.

Pour écrire un nombre tri-tri on a

3 choix possibles pour le chiffre des centaines ;
3 choix possibles pour le chiffre des dizaines;
3 choix possibles pour le chiffre des unités ;

Soit un total de \(3 \times 3 \times 3=3^{3}=27\) nombres tri-tri distincts.
2. a) On considère les nombres tri-tri 122 et 323 .

Analyse un nombre tri-tri qui forme un trident avec 122 et 323 doit vérifier les contraintes suivantes :
les chiffres des centaines de 122 et 323 sont distincts ( 1 et 3 ) donc son chiffre des centaines doit être 2;
les chiffres des dizaines de 122 et 323 sont égaux à 2 donc son chiffre des dizaines doit être 2 également;
les chiffres des unités de 122 et 323 sont sont distincts ( 2 et 3 ) donc son chiffre des unités doit être 1;

Le nombre tri-tri formant un trident avec 122 et 323 doit donc être 221.

Synthèse On vérifie que 122,323 et 221 forment un trident.

On conclut qu'il existe un unique nombre tri-tri formant un trident avec 122 et 323, c'est 221.
b) Considérons deux nombres tri-tri \(a\) et \(b\). On démontre comme précédemment qu'il existe un unique nombre tri-tri formant un trident avec eux.

Analyse Soit un nombre tri-tri qui forme un trident avec \(a\) et \(b\).

Pour chacun de ses chiffres on raisonne par disjonction des cas :

soit les chiffres de même position dans les écritures décimales de \(a\) et \(b\) sont égaux et le chiffre du nombre cherché doit être égal à cette valeur;
soit les chiffres de même position dans les écritures décimales de \(a\) et \(b\) sont différents et le chiffre du nombre cherché doit être différent des deux autres et ne peut prendre que le chiffre restant parmi 1, 2 ou 3;

Ainsi pour chaque chiffre du nombre cherché, il existe une unique valeur possible.

Synthèse On vérifie immédiatement que le nombre construit dans l'analyse, forme un trident avec \(a\) et \(b\).
On conclut que pour deux nombres tri-tri il existe un unique nombre tri-tri formant un trident avec eux.

On suppose qu'on choisit au hasard, successivement et sans remise, trois nombres distincts dans l'ensemble des nombres tri-tri.