Exercice 2 — Voyage à la surface de la Terre

1. La distance entre l'équateur et le pôle Nord est un quart de la longueur de l ?équateur : 10000 km .
2. Le seul point de départ possible dans l'hémisphère Nord est le pôle Nord.
3. Remarque préliminaire : les points A et D sont sur un même parallèle, étant situés tous les deux à 2000 km au nord de l'équateur.
   La distance entre B et C est 2000 km , c'est-à-dire un vingtième de la longueur de l'équateur.
   La distance entre D et A le long du parallèle est donc un vingtième de la longueur de ce parallèle, mais cette longueur est plus courte que celle de l'équateur. La distance entre D et A est donc inférieure à 2000 km .
   Le voyageur repasse donc par le point A , mais son point d'arrivée est plus loin à l' ouest.
4. Le point de départ peut se situer à 1000 km au Nord de l'équateur, car le parallèle situé à 1000 km au Nord de l'équateur et celui situé à 1000 km au sud de l'équateur ont la même longueur.
5. Dans cette question, on souhaite préciser la réponse à la question 3.
   a) La distance (sur Terre) entre le point E et le point N est 10000 km . La distance entre E et M est donc un cinquième de la distance entre E et N , et l'angle \(\widehat{E O M}\) ) mesure un cinquième de l'angle \(\widehat{E O N}\), c'est-àdire \(18^{\circ}\).

La distance \(E O\) est le rayon d'un cercle de périmètre 40000 km (l'équateur).
On a donc \(E O=\frac{40000}{2 \pi} \approx 6366 \mathrm{~km}\).
Dans le triangle rectangle MHO , on a \(\frac{M H}{M O}=\cos (\widehat{H M O})\).
Or \(M O=E O\) et \(\widehat{H M O}=\widehat{E O N}\) donc \(M H=E O \times \cos \left(18^{\circ}\right)=\frac{40000}{2 \pi} \times \cos \left(18^{\circ}\right) \approx 6054 \mathrm{~km}\).
Le parallèle situé à 2000 km au Nord de l'équateur est un cercle de rayon \(M H\).
Sa longueur est donc \(2 \pi \times M H=40000 \times \cos \left(18^{\circ}\right) \approx 38042 \mathrm{~km}\).
b) Le voyageur parcourt un vingtième de l'équateur lorsqu'il va de B vers C .
c) Pour rejoindre le point A en partant du point D , le voyageur doit donc parcourir un vingtième du parallèle, c'est-à-dire \(\frac{1}{20} \times 40000 \times \cos \left(18^{\circ}\right) \approx 1902 \mathrm{~km}\).
6. Si on reprend les mêmes notations mais avec M situé à \(x \mathrm{~km}\) au Nord de l'équateur, on trouve que la mesure de l'angle \(\widehat{E O M}\) est \(\frac{x}{10000}\) fois la mesure de l'angle \(\widehat{E O N}\), c'est-à-dire \(\frac{90 \times x}{10000}\) (en degré).
Le même raisonnement que dans la question 5.a. permet de trouver : \(L(x)=40000 \times \cos \left(\frac{90 \times x}{10000}\right)\).
Pour un parallèle situé à \(x \mathrm{~km}\) au Sud de l'équateur, c'est le même résultat.
7. On souhaite reprendre la question 2, mais en partant d'un point de l'hémisphère Sud.
a) Il faut résoudre \(L(x)=2000: 40000 \times \cos \left(\frac{90 \times x}{10000}\right)=2000 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{90 \times x}{10000}\right)=\frac{1}{20}\). On a donc \(\frac{90 x}{10000}=a \cos \left(\frac{1}{20}\right) \approx 87,134^{\circ}\) et \(x=\frac{10000}{90} \times a \cos \left(\frac{1}{20}\right) \approx 9682 \mathrm{~km}\). Il existe bien un parallèle de longueur 2000 km , situé à 9682 km au sud de l'équateur.
b) En utilisant la question précédente : le point de départ peut être situé à 7682 km au sud de l'équateur. En parcourant 2000 km vers le Sud, le voyageur se retrouve sur un parallèle de longueur 2000 km . Les 2000 km vers l'Est lui font faire un tour complet.
c) En effectuant 2000 km vers l'Est, le voyageur peut faire plusieurs tours. Il peut donc partir

• d'un point situé à 2000 km au Nord d'un parallèle de longueur 1000 km ,
• d'un point situé à 2000 km au Nord d'un parallèle de longueur \(\frac{2000}{3} \mathrm{~km}\),
• etc.

1. Une solution possible :

• Le voyageur part d'un point situé à \(x \mathrm{~km}\) au Nord de l'équateur ( \(x\) supérieur à 2000).
• Il parcourt 2000 km vers le Sud, et se retrouve à \(x-2000 \mathrm{~km}\) de l'équateur, sur un parallèle de longueur \(L(x-2000)\).
• Il parcourt 2000 km vers l'Est, ce qui représente une certaine proportion \(p\) de la longueur \(L(x-2000)\).
• Il parcourt 2000 km vers le Nord et se retrouve de nouveau à \(x \mathrm{~km}\) de l'équateur, sur un parallèle de longueur \(L(x)\).
• Il parcourt 2000 km vers l'Ouest, ce qui représente une certaine proportion \(p^{\prime}\) de la longueur \(L(x)\).
• Il se retrouve à son point de départ si \(p^{\prime}=p+1\), c'est-à-dire si en allant vers l'Ouest, il effectue un tour complet plus la proportion \(p\) de la longueur \(L(x)\).
  La proportion \(p\) vaut \(p=\frac{2000}{L(x-2000)}\). La proportion \(p^{\prime}\) vaut \(p^{\prime}=\frac{2000}{L(x)}\).
  Il faut donc résoudre \(\frac{2000}{L(x)}=\frac{2000}{L(x-2000)}+1\), c'est-à-dire \(\frac{2000}{L(x)}-\frac{2000}{L(x-2000)}=1\).
  On ne peut par résoudre cette équation de manière exacte, mais la calculatrice permet de trouver une solution approchée en programmant la fonction \(x \mapsto \frac{2000}{L(x)}-\frac{2000}{L(x-2000)}\). On trouve \(x \approx 9721,357 \mathrm{~km}\).
  Autres solutions :
• Le voyageur peut effectuer plusieurs tours complets en allant vers l'Ouest.
• Symétriquement, les mêmes types de parcours sont possibles dans l'hémisphère Sud, par exemple en partant d'un point situé à \(7721,357 \mathrm{~km}\) au Sud de l'équateur.