Olympiades · Académie Limoges · 2016 · Toutes séries
La moyenne que vous utilisez habituellement se nomme moyenne arithmétique. On se propose de découvrir trois autres types de moyennes, et de les comparer.
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs. On définit quatre types différents de moyennes :
| La moyenne arithmétique, notée \(A(a ; b)\) : \( A(a ; b)=\frac{a+b}{2} \) | La moyenne harmonique, notée \(H(a ; b)\) : \( H(a ; b)=\frac{1}{\frac{1 / a+1 / b}{2}}=\frac{2 \times a \times b}{a+b} \) |
| La moyenne quadratique, notée \(Q(a ; b)\) : \( Q(a ; b)=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \) | La moyenne géométrique, notée \(G(a ; b)\) : \( G(a ; b)=\sqrt{a \times b} \) |
Combien ont-ils trouvé de champignons en moyenne, c'est-à-dire quel même nombre de champignons chacun aurait-il dû trouver pour obtenir le même nombre total ?
b) Au \(1^{\text {er }}\) janvier 2016, une certaine vidéo avait déjà été visionnée 4000 fois. Le nombre total de vues a été multiplié par 10 au mois de janvier, puis par 30 au mois de février.
Par combien le nombre total de vues a-t-il été multiplié chaque mois en moyenne, c'est-à-dire par quel même nombre doit-on multiplier chaque mois le nombre de vue pour obtenir le même nombre final ?
c) Un cycliste monte une côte de 1 km à la vitesse de \(10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), puis la redescend à la vitesse de \(30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Combien de temps a-t-il mis pour parcourir les 2 km ?
Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours, c'est-à-dire à quelle vitesse constante sur l'ensemble du parcours aurait-il dû rouler pour mettre le même temps ?
d) Un appareil fonctionne avec deux panneaux solaires circulaires, l'un de 10 cm de rayon, l'autre de 30 cm de rayon. Quelle est l'aire totale des panneaux solaires ?
Quel est le rayon moyen des panneaux solaires, c'est-à-dire le rayon que devraient avoir les panneaux solaires pour obtenir la même surface totale, s'ils avaient le même rayon?
2. On souhaite démontrer géométriquement les inégalités suivantes : \(H(a ; b) \leqslant G(a ; b) \leqslant A(a ; b) \leqslant Q(a ; b)\). Pour cela, on considère deux réels \(a\) et \(b\) strictement positifs tels que \(a>b\), et on construit la figure suivante :
Le temps mis pour parcourir 1 km à \(30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) est \(\frac{1}{30} \mathrm{~h}\). Le temps total est \(\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{2}{15} \mathrm{~h}\).
Les 2 km ont été parcourus en \(\frac{15}{15}\), ce qui correspond à une vitesse moyenne de \(\frac{2}{2 / 15}=15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
Il s'agit de la moyenne harmonique : \(\frac{1}{\frac{1}{\frac{10}{2}+\frac{1}{30}}}=\frac{2 \times 10 \times 30}{10+30}=15\).
d) L'aire totale des panneaux solaires est \(\pi \times 10^{2}+\pi \times 30^{2}=1000 \pi\).
Si on note \(r\) le rayon de deux panneaux solaires identiques ayant la même surface totale : \(2 \times \pi r^{2}= 1000 \pi\) et donc \(r=\sqrt{\frac{1000}{2}}=\sqrt{500}\). Il s'agit de la moyenne géométrique : \(\sqrt{\frac{10^{2}+30^{2}}{2}}\).
2. Partie géométrique.
a) \(P Q=P M-Q M=a-b\) donc \(O P=\frac{P Q}{2}=\frac{a-b}{2}=\frac{30-10}{2}=10\).
On en déduit \(O M=P M-O P=a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{30+10}{2}=20\).
Il s'agit de la moyenne arithmétique.
b) Dans le triangle ORM rectangle en O, \(R M^{2}=O R^{2}+O M^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\) après simplification.
On a donc \(R M=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}=\sqrt{500}\).
Il s'agit de la moyenne quadratique.
c) Dans le triangle OGM rectangle en \(\mathrm{G}, G M^{2}=O M^{2}-O G^{2}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)=a b\) après simplification. On a donc \(G M=\sqrt{a b}=\sqrt{300}\).
Il s'agit de la moyenne géométrique.