Olympiades · Académie Lille · 2016 · Séries autres que S
Monsieur Gauss, qui possède quelques objets de valeurs, a investi dans un coffre-fort doté d'un cadenas électronique qui s' ouvre à l'aide d'un code qui est de la forme \(x y z A\), où \(x, y\) et \(z\) sont des entiers pouvant aller de 0 à 9 inclus, et \(A\) une lettre majuscule de l'alphabet latin, qui comporte 26 lettres de \(A\) à \(Z\).
La partie \(x y z\) du code sera appelée partie chiffrée du code.
Le cadenas est programmé de telle sorte que Monsieur Gauss peut, à tout moment modifier le code d'ouverture par le biais d'une ligne d'appel sécurisée. A chacune de ses demandes le code est modifié à l'aide de l'algorithme décrit ci-après, et un SMS donnant le nouveau code à utiliser lors de la prochaine ouverture est envoyé à Monsieur Gauss.
Cet algorithme se présente ainsi :
si \(x y z A\) est le code d'ouverture à un instant donné, alors, si Monsieur Gauss le demande, l'algorithme donne après transformation le code \(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime} A^{\prime}\), où :
\(x^{\prime}=-x+y-2 z\)
\(y^{\prime}=-z+1\)
\(z^{\prime}=x-y+z\).
Si les valeurs \(x^{\prime}, y^{\prime}\) ou \(z^{\prime}\) ne sont pas comprises entre 0 et 9 inclus, l'algorithme les corrige en leur ajoutant ou en leur soustrayant 10 plusieurs fois, si nécessaire, et \(A^{\prime}\) est la lettre obtenue selon le tableau ci-dessous, en ajoutant \(x+y+z\) au code de la lettre de départ, et en y soustrayant 26 lorsque le nouveau code dépasse 25 .
| Lettre | \(\boldsymbol{A}\) | \(B\) | C | \(D\) | \(E\) | \(F\) | \(G\) | \(H\) | \(I\) | \(J\) | \(K\) | \(L\) | \(M\) |
| Code | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Lettre transformée | |||||||||||||
| Lettre | \(N\) | \(O\) | \(\boldsymbol{P}\) | \(Q\) | \(R\) | \(S\) | \(T\) | \(U\) | \(V\) | \(W\) | \(X\) | \(Y\) | \(Z\) |
| Code | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| Lettre transformée | \(Q\) | \(\boldsymbol{X}\) |
Premier exemple : si le code initial était, \(887 A\), l'algorithme déterminera la nouvelle lettre en calculant \(x+y+z= 8+8+7=23\), et en déduira que la lettre \(A\) de la case grisée doit être codée en la lettre \(X\) de la troisième ligne du tableau.
Deuxième exemple : si le code initial était, 999P, l'algorithme déterminera la nouvelle lettre en calculant \(x+y+z= 9+9+9=27\), et en déduira que la lettre \(P\) de la case grisée doit être codée en la lettre \(Q\) de la troisième ligne du tableau.
Un code sera dit de «période \(N\) » s'il est globalement invariant après \(N\) changements de code exactement, autrement dit, si le code, après \(\boldsymbol{N}\) changements successifs, se transforme en lui-même.
\[ \text { Donc } x ; y \text { et } z \text { sont solutions du système }\left\{\begin{align*} -x+y-2 z & =4 \tag{1}\\ -z+1 & =6 \\ x-y+z & =1 \\ x+y+z & =15 \end{align*}\right. \]
(2) donne \(z=-5\) qui devient \(z=-5+10=5\), on trouve alors \(x\) et \(y\) en résolvant
\[ \left\{\begin{align*} -x+y-10 & =4 \tag{4}\\ x-y & =6 \\ x+y & =10 \end{align*}\right. \]
d'où les deux systèmes à résoudre :
\[ \left\{\begin{array} { l } { x - y = 6 } \tag{3}\\ { x + y = 1 0 } \end{array} \text { (1) } \text { ou } \left\{\begin{array}{l} x-y=-4 \\ x+y=10 \end{array}\right.\right. \]
Ce qui donne \(x=3\) et \(y=7\), ou bien \(x=8\) et \(y=2\).
Les codes \(375 P\) et \(825 P\) se transforment en le code \(461 E\).
b) Même question pour des codes se terminant par la lettre \(Q\).
\[ Q \text { se transforme en } E \text {, donc } x+y+z=14 \text {. On reprend le même système }\left\{\begin{align*} -x+y-2 z & =4 \tag{1}\\ -z+1 & =6 \\ x-y+z & =1 \\ x+y+z & =14 \end{align*}\right. \]
d'où \(z=5\) et \(\left\{\begin{array}{l}x-y=-4 \\ x+y=9\end{array}\right.\)
\[ \text { ou }\left\{\begin{array}{l} x-y=6 \tag{3}\\ x+y=9 \end{array}\right. \]
mais alors le premier système donne \(2 x=5\) et le deuxième \(2 x=15\), ce qui est impossible, donc il n'y a pas de code tel que \(Q\) se transforme en \(E\).
3. Existe-t-il des codes dont la lettre reste invariante après un changement de code? Justifier la réponse.
Soit le code xyzLETTRE, LETTRE appartenant à l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet. La lettre reste invariante après un changement si \(x+y+z=26\) ou 0 . Le deuxième cas donne les codes \(000 L E T T R E\). Dans le deuxième cas, sachant que \(x, y\) et \(z\) sont compris entre 0 et 9 , seule la somme \(26=9+9+8\) convient.
Les codes solutions, autres que 000LETTRE, sont 899LETTRE, 989LETTRE ou 998LETTRE. Donc \(4 \times 26=104\) codes.
4. Existe-t-il des codes dont la partie chiffrée est invariante après un changement de code? Justifier la réponse.
Un code dont la partie chiffrée \(x y z\) reste invariante vérifie le système : \(\left\{\begin{aligned}-x+y-2 z & =x \\ -z+1 & =y \\ x-y+z & =z\end{aligned}\right.\)
((3) donne \(x=y, y\) et \(z\) solutions de : \(\left\{\begin{array}{rll}y+2 z & = & 0 \\ y+z & = & 1\end{array}\right.\) (2)
d' où \(z=-1\) qui devient \(z=9\), et alors \(y=2\), d' où \(x=2\).
La partie chiffrée invariante est donc 229
5. Existe-t-il des codes globalement invariants ? Justifier la réponse.
Un code \(x y z L E T T R E\) est invariant si et seulement si \(x y z=229\) et \(x+y+z=26\) ou 0 . Ce qui est impossible. Il n'existe donc aucun code invariant ou de période 1.
6. a) Monsieur Gauss a choisi le code \(123 A\) et après trois demandes successives de changement de code, a reçu par SMS le code \(229 W\). Choisir un code au hasard autre que le code \(123 A\), puis déterminer quel sera le code que Monsieur Gauss recevra par SMS après trois demandes successives de changement de code.
Quel que soit le code xyzLETTRE choisi, après trois changements successifs, il devient 229LETTRE0, et, de fait, la partie chiffrée devient invariante ensuite.
b) Que peut-on conjecturer?
c) Justifier la validité de cette conjecture.
Vérifier qu'après trois changements successifs, \(x y z\) est invariant.
7. En utilisant les résultats des questions précédentes, justifier qu'il existe 26 codes d'ouverture de période 2. Un code \(x y z L E T T R E\) sera invariant après deux changements successifs, ssi \(x y z=229\), et \(2+2+9=13\), donc la lettre LETT RE restera invariante aussi.
Il y a donc autant de codes \(229 L E T T R E\) invariants après deux changements que de lettres de l'alphabet, donc 26 .