Exercice 2 — Coffre-fort lourd

Partie 1

1. A un instant donné, le code d'ouverture est, \(528 G\) quel sera le nouveau code d'ouverture si Monsieur Gauss fait la demande d'un changement de code? Justifier la réponse. Si le code est \(528 G\), alors \(x^{\prime}= -5+2-16=-19 \equiv 1 \bmod 10(-19\) devient \(-19+10+10=1), y^{\prime}=-7+10=3, z^{\prime}=11-10=1 G\) est décalé de \(5+2+8=15\), donc devient \(V\).
   Le nouveau code est 131 V
2. a) Existe-t-il des codes se terminant par la lettre \(P\) qui se transforment en le code \(461 E\) ? Justifier la réponse. Soit un code se terminant par la lettre \(P\), alors il est de la forme \(x y z P\). Il se transforme en le code \(461 E\) alors le décalage entre la lettre \(E\) et \(P\) donne \(x+y+z=15\).

\[ \text { Donc } x ; y \text { et } z \text { sont solutions du système }\left\{\begin{align*} -x+y-2 z & =4 \tag{1}\\ -z+1 & =6 \\ x-y+z & =1 \\ x+y+z & =15 \end{align*}\right. \]

(2) donne \(z=-5\) qui devient \(z=-5+10=5\), on trouve alors \(x\) et \(y\) en résolvant

\[\begin{align*} & \left\{\begin{array}{rll} -x+y-10 & = & 4 \\ x-y & = & 6 \end{array}(1)\right. \tag{4}\\ & x+y \\ & = \\ & \text { d'où les deux systèmes à résoudre : } \end{align*}\]

Ce qui donne \(x=3\) et \(y=7\), ou bien \(x=8\) et \(y=2\).
Les codes \(375 P\) et \(825 P\) se transforment en le code \(461 E\).
b) Même question pour des codes se terminant par la lettre \(Q\).

\[ Q \text { se transforme en } E \text {, donc } x+y+z=14 \text {. On reprend le même système }\left\{\begin{align*} -x+y-2 z & =4 \tag{1}\\ -z+1 & =6 \\ x-y+z & =1 \\ x+y+z & =14 \end{align*}\right. \]

\[ \text { d'où } z=5 \text { et }\left\{\begin{array} { l } { x - y = - 4 } \\ { x + y = 9 } \end{array} = ( 1 ) \text { ou } \left\{\begin{array}{l} x-y=6(1) \tag{3}\\ x+y=9 \end{array}\right.\right. \]

mais alors le premier système donne \(2 x=5\) et le deuxième \(2 x=15\), ce qui est impossible, donc il n'y a pas de code tel que \(Q\) se transforme en \(E\).
3. Existe-t-il des codes dont la lettre reste invariante après un changement de code? Justifier la réponse.

Soit le code xyzLETTRE, LETTRE appartenant à l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet. La lettre reste invariante après un changement si \(x+y+z=26\) ou 0 . Le deuxième cas donne les codes \(000 L E T T R E\). Dans le deuxième cas, sachant que \(x, y\) et \(z\) sont compris entre 0 et 9 , seule la somme \(26=9+9+8\) convient.

Les codes solutions, autres que 000LETTRE, sont 899LETTRE, 989LETTRE ou 998LETTRE. Donc \(4 \times 26=104\) codes.
4. Existe-t-il des codes dont la partie chiffrée est invariante après un changement de code ? Justifier la réponse.
Un code dont la partie chiffrée \(x y z\) reste invariante vérifie le système : \(\left\{\begin{array}{rll}-x+y-2 z & = & x \\ -z+1 & = & y \\ x-y+z & = & z\end{array}\right.\)
((3) donne \(x=y, y\) et \(z\) solutions de : \(\left\{\begin{array}{r}y+2 z=0 \\ y+z=1\end{array}\right.\)
d' où \(z=-1\) qui devient \(z=9\), et alors \(y=2\), d' où \(x=2\).
La partie chiffrée invariante est donc 229
5. Existe-t-il des codes globalement invariants ? Justifier la réponse.

Un code \(x y z L E T T R E\) est invariant si et seulement si \(x y z=229\) et \(x+y+z=26\) ou 0 . Ce qui est impossible.
Il n'existe donc aucun code invariant ou de période 1.
6. a) Monsieur Gauss a choisi le code \(123 A\) et après trois demandes successives de changement de code, a reçu par SMS le code \(229 W\). Choisir un code au hasard autre que le code \(123 A\), puis déterminer quel sera le code que Monsieur Gauss recevra par SMS après trois demandes successives de changement de code.
Quel que soit le code xyzLETTRE choisi, après trois changements successifs, il devient 229LETTRE0, et, de fait, la partie chiffrée devient invariante ensuite.
b) Que peut-on conjecturer?
c) Justifier la validité de cette conjecture.

Vérifier qu'après trois changements successifs, \(x y z\) est invariant.
7. En utilisant les résultats des questions précédentes, justifier qu'il existe 26 codes d'ouverture de période 2. Un code \(x y z L E T T R E\) sera invariant après deux changements successifs, ssi \(x y z=229\), et \(2+2+9=13\), donc la lettre LETTRE restera invariante aussi.
Il y a donc autant de codes 229 LETTRE invariants après deux changements que de lettres de l'alphabet, donc 26.

Partie 2

Soucieux de sécuriser le coffre-fort, Monsieur Gauss demande à l'entreprise qui commercialise le cadenas électronique, un code à six chiffres de la forme \(x y z t u v\), avec changement de code dans les mêmes conditions, à savoir par le biais d'une demande par téléphone.
L'algorithme qui transforme le code initial xyztuv en le code \(x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime} t^{\prime} u^{\prime} v^{\prime}\) est décrit ci-dessous :

\(x\)	\(y\)	\(z\)	\(t\)	\(u\)	\(v\)
\(x^{\prime}=x+z\)	\(y^{\prime}=y-u\)	\(z^{\prime}=v-u-1\)	\(t^{\prime}=z-1\)	\(u^{\prime}=t-y+1\)	\(v^{\prime}=v-x+1\)

On applique pour chaque valeur calculée à la deuxième ligne, la même règle de correction (décalage éventuel de 10, en plus ou en moins, et autant de fois que nécessaire, pour obtenir un chiffre entre 0 et 9 inclus).

Un code sera dit de «période \(N\) » s'il est globalement invariant après \(N\) changements de code exactement, autrement dit, si le code \(x y z t u v\), par exemple, après \(N\) changements successifs, se transforme en lui-même.

1. Monsieur Gauss a demandé un changement de code, il reçoit par SMS le code suivant 100901.

Quel était le code initial avant sa demande ? Conclure.
Il suffit de résoudre le système : \(\left\{\begin{aligned} x+z & =1 \\ y-u & =0 \\ v-u-1 & =0 \\ z-1 & =9 \\ t-y+1 & =0 \\ v-x+1 & =1\end{aligned}\right.\) On trouve \(x y z t u v=100901\). Le seul code invariant
ou de période 1 est 100901.
2. Monsieur Gauss, ayant des aptitudes mathématiques, exige un algorithme évitant la possibilité qu'un code soit invariant ou de période 2.
Le bureau d'étude de l'entreprise, qui commercialise les cadenas électroniques, propose alors de ne modifier