Sujet
Le jeu de dominos consiste à faire un alignement de pièces de telle façon que les cases contiguës de deux pièces voisines soient identiques (exemple en image ci-dessous)
Partie 1
Voici quelques pièces d'un jeu de dominos que Léon a trouvé dans son grenier.
Léon s'interroge sur la longueur maximale de l'alignement qu'il peut créer avec ses pièces.
- Etude de la collection de pièces de Léon
a) Créer un alignement de longueur maximale avec les pièces trouvées par Léon.
b) Léon cherche maintenant une méthode générale qui lui permettrait de savoir si, avec une collection de pièces quelconques, on peut créer, ou non, un alignement utilisant toutes les pièces.
« Pour comprendre les situations mathématiques, il faut souvent faire un dessin» lui dit son professeur de mathématiques.
Léon a commencé le schéma qui suit (Léon a représenté les deux premières pièces par des lignes reliant des entiers)
Partie 1
1. Etude de la collection de pièces de Léon
a) De nombreuses possibilités qui utilisent toutes 7 pièces en excluant le «double-4» que l'on ne peut connecter avec aucune autre. Exemple : (2-5;5-0;0-2;2-3;3-6;6-5;5-3)b) graphe ci-contre.
On remarque à cette occasion que chaque ligne tracée représente une pièce déterminée et que les extrémités des lignes représentent les faces de la pièce de domino . . .la modélisation est faite ...
c) Un alignement de pièces correspondra donc à un parcours des lignes qui impose à chaque nouvelle ligne de partir du point où l'on vient d'arriver. On peut dire que la contiguïté de faces identiques garantit la continuité des lignes tracées...Et le fait que toutes les pièces soient employées une seule fois garantit que le graphe complet sera parcouru sans passer deux fois sur une même ligne...
2. Étude générale d'un graphe
a) Un «point-étape», à chacune de ses occurrences, nécessite deux nouvelles arêtes : une pour y accéder, et une autre pour en partir...Le point-étape interviendra donc en tout un nombre pair de fois en tant qu'extrémité de ligne puisque notre itinéraire les emprunte toutes. Son degré sera donc pair.b) (S uniquement)
Imaginons que l'on passe en revue toutes les lignes du graphe en attribuant à chaque extrémité de la ligne une valeur de «un point». Lorsque nous aurons fini le «dépouillement», chaque point du graphe aura un «total de points» correspondant à son degré...Et nous aurons distribué en tout le double de points qu'il y a de lignes dans le graphe.
La somme des degrés de tous les point du graphe est donc un nombre pair.
En décomposant cette somme, on peut la considérer comme l'addition de la somme des degrés des points de degré pair, et de la somme des degrés des points de degré impair.L'ensemble des points de degré pair fournira fatalement une somme des degrés qui sera paire (car «pair multiplié par pair donne pair»)...Il faut donc que la somme obtenue avec l'ensemble des points de degré impair fournisse également une somme des degrés qui soit un nombre pair.
Or, un nombre impair de points de degré impair fournirait une somme de ces degrés qui serait un nombre impair (car «impair multiplié par impair donne impair»).
Donc il est impossible, quel que soit le graphe, que les points de degré impair soient en nombre impair.