Exercice 2 — Simplifications scandaleuses — Olympiades 2016 Guadeloupe

Sujet

Clovis Clou appelle l'élève Clapeyron, lui fait écrire la fraction \(\frac{2666}{6665}\) et lui demande de la simplifier.

Je peux enlever un 6 au numérateur et un autre au dénominateur, dit Clapeyron. Cela fait : \(\frac{266}{665}\).
Bien, approuve Clovis. Mais tu peux faire mieux !
C'est vrai, reconnaît Clapeyron, je peux encore simplifier deux fois par 6. Et il écrit : \(\frac{2666}{6665}=\frac{266}{665}=\frac{2}{5}\).
Bravo ! dit Clovis. Je te mets 10 sur 10 !

Extrait du «JEUX de l'esprit et divertissements mathématiques» de Jean-Pierre ALEM.

Préambule

Bien qu'elle ait fourni à Clapeyron un résultat final juste, la méthode de simplification employée est évidemment tout à fait incorrecte. Néanmoins, il arrive parfois qu'elle donne un résultat juste. Dans ce cas, on dit que la fraction est simplifiable de manière scandaleuse.

Les fractions suivantes sont-elles simplifiables de manière scandaleuse : \(\frac{199}{995}, \frac{2777}{7773}\) ?

Partie 1

Notation : Soit \(n\) un entier naturel, \(n \geqslant 1\).
Si \(a, b, c\) sont des chiffres, on note \(\overline{a b b \ldots b b}\) le nombre formé du chiffre \(a\) suivi de \(n\) chiffres \(b\).
De même, on note \(\overline{b b \ldots b b c}\) le nombre formé de \(n\) chiffres \(b\) suivi du chiffre \(c\).
L'objectif est de trouver une condition nécessaire sur les chiffres \(a, b, c\), pour qu'une fraction du type \(\frac{\overline{a b b \ldots b b}}{\overline{b b \ldots b c}}\) (avec les chiffres \(a\) et \(b\) distincts) se simplifie de manière scandaleuse, c'est-à-dire que : \(\frac{\overline{a b b \ldots b b}}{\overline{b b \ldots b c}}=\frac{a}{c}\).
On rappelle la formule pour tout \(q \neq 1: 1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
2. Le nombre 2345 se décompose sous la forme : \(2345=2 \times 10^{3}+3 \times 10^{2}+4 \times 10^{1}+5 \times 1\).

De la même façon, le nombre \(\overline{a b b \ldots b b}\) qui contient \(n\) chiffres \(b\) se décompose sous la forme :

\[ a \times 10^{n}+b \times 10^{n-1}+b \times^{n-2}+\cdots+b \times 10^{1}+b \times 1 . \]

Écrire de même la décomposition du nombre \(\overline{b b \ldots b b c}\) qui contient \(n\) chiffres \(b\).
3. Montrer que :

\[ \left.a \times 10^{n}+b \times 10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^{1}+1\right)=a \times 10^{n}+b \times \frac{10^{n-1}}{9} . \]

Exprimer de même : \(b \times 10 \times\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^{1}+1\right)+c\)
Montrer que si l'égalité \(\frac{\overline{a b b \ldots b b}}{\overline{b b \ldots b b c}}=\frac{a}{c}\) est vraie, alors les chiffres \(a, b\) et \(c\) vérifient l'égalité : \(b=\frac{9 a c}{10 a-c}\).

\(\frac{199}{995}\) est simplifiable de manière scandaleuse, en effet : \(\frac{199}{995}=\frac{199}{199 \times 5}=\frac{1}{5}\).

En revanche, \(\frac{2777}{7773}\) n'est pas simplifiable de manière scandaleuse \(\frac{2777}{7773} \neq \frac{2}{3}\), en effet \(7773=3 \times 2591\), mais 32777 n'est pas divisible par 2 ou encore \(2 \times 2591 \neq 2777\)
2. \(\overline{b b \ldots b b c}=b \times 10^{n}+b \times 10^{n-1}+b \times 10^{n-2}+\cdots+b \times 10^{1}+c\)
3. On utilise la formule rappelée.
4. De même : \(b \times 10 \times\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10 ?^{1}+1\right)+c=b \times 10 \times \frac{10^{n-1}}{9}+c\).
5. Si \(\frac{\overline{a b b \ldots b b}}{\overline{b b \ldots b c}}=\frac{a}{c}\), alors d ?après la question précédente : \(\frac{a \times 10^{n}+b \times \frac{10^{n}-1}{9}}{b \times 10 \times \frac{10^{n}-1}{9}+c}=\frac{a}{c}\).
d ?où : \(\left(a \times 10^{n}+b \times \frac{10^{n}-1}{9} \times c=\left(b \times 10 \times \frac{10^{n}-1}{9}+c\right) \times a\right.\), donc en développant :
\(a c \times 10^{n}-a c=a b \times 10 \times \frac{10^{n}-1}{9}-b c \times 10 \times \frac{10^{n}-1}{9}\) d'où \(a c \times\left(10^{n}-1\right)=\frac{10^{n}-1}{9} \times b \times(10 a-c)\).
Comme \(n>0,10^{n}-1 \neq 0\), on peut simplifier et on obtient : \(b(10 a-c)=9 a c . a\) et \(c\) sont des chiffres, donc \(10 a-c \neq 0\) d'où : \(b=\frac{9 a c}{10 a-c}\).
6. \(\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\) donc \(c=2 a\), d'après la question précédente, on a nécessairement \(b=\frac{9 a c}{10 a-c}=\frac{18 a^{2}}{8 a}=\frac{9 a}{4}\).

Pour \(a=4, b=9\) et \(c=8\), on vérifie que \(\frac{499}{998}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).
La fraction \(\frac{499}{998}\) est une fraction égale à \(\frac{1}{2}\) et simplifiable de manière scandaleuse.
7. \(\frac{a}{c}=\frac{2}{3}\) donc \(c=\frac{3}{2} a\), on a nécessairement \(b=\frac{9 a c}{10 a-c}=\frac{27 a^{2}}{17 a}=\frac{27 a}{17}\).

Pour toute valeur du chiffre \(a\), entier entre 1 et \(9, \frac{27 a}{17}\) n'est pas un chiffre.
Il n'existe pas de fraction simplifiable de manière scandaleuse égale à \(\frac{2}{3}\).