Exercice 3 — Nombres prisonniers

Sujet

Dans tout cet exercice, les nombres considérés sont des nombres entiers positifs non nuls. De plus, lorsque l'on considère un nombre à plusieurs chiffres, le chiffre de gauche n'est jamais nul.

On dira qu'un nombre \(A\) est prisonnier du nombre \(B\) si on peut obtenir le nombre \(A\) en éliminant éventuellement certains chiffres de \(B\).

Ainsi, 13 est prisonnier de 153 (en rayant le chiffre 5),
105 est prisonnier de 31056 (en rayant les chiffres 3 et 6),
15 est prisonnier de 15 (sans rayer de chiffre)
23 a trois prisonniers : \(2 ; 3\) et 23.
22 a deux prisonniers : 2 et 22.
alors que 11 n'est pas prisonnier de 15 et que 13 n'est pas prisonnier de 351 .

1. Nombre de prisonniers d'un entier.
   a) Quels sont tous les nombres à deux chiffres qui ont exactement deux prisonniers ?
   b) Quels sont tous les nombres à deux chiffres qui ont exactement trois prisonniers?
   c) Quels sont tous les prisonniers de 203 ?
   d) Existe-t-il des nombres à trois chiffres qui ont huit prisonniers distincts ?
   e) Parmi les nombres à cinq chiffres non nuls, quels sont ceux qui ont le moins de prisonniers? Combien ont-ils de prisonniers?
   f) Parmi les nombres à cinq chiffres non nuls, quels sont ceux qui ont le plus de prisonniers? Combien ont-ils de prisonniers?
2. Relations entre prisonniers.
   a) Démontrer que si \(A\) est prisonnier de \(B\) alors \(A\) est inférieur ou égal à \(B\).
   b) Démontrer alors que si \(A\) est prisonnier de \(B\) et \(B\) prisonnier de \(A\) alors ces nombres sont égaux.
   c) Si \(A\) est prisonnier de \(B\) et \(B\) prisonnier de \(C\), que peut-on en déduire concernant \(A\) et \(C\) ?
   d) Existe-t-il au moins un nombre non nul \(A\) tel que \(A\) soit prisonnier de ( \(3 A\) ) ?
   e) Existe-t-il au moins un nombre non nul \(A\) tel que \(A\) soit prisonnier de ( \(2 A\) ) ?
3. Gardien d'un ensemble de nombres.

On appelle gardien d'un ensemble E de nombres un nombre G tel que tout nombre de l'ensemble E est prisonnier de G.
a) Construire un gardien de l'ensemble \(\{21 ; 26 ; 201 ; 206\}\).

Ce gardien est-il unique?
b) Montrer que tout ensemble fini de nombres a un gardien qui est plus petit que les autres.