Exercice 2 — Accepter les différences !

Sujet

Dans cet exercice la notation min désigne le plus petit nombre de la liste des nombres considérés.
Ainsi \(\min (5 ; 7)=5\) et \(\min (8 ; 11 ; 7)=7\).
À partir de deux entiers positifs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) distincts, on calcule successivement \(x_{3}=\left|x_{2}-x_{1}\right|\), puis \(x_{4}=\min \left(\left|x_{3}-x_{1}\right| ;\left|x_{3}-x_{2}\right| ;\left|x_{2}-x_{1}\right|\right)\) puis pour \(k \geqslant 4, x_{k}=\min \left(\left|x_{j}-x_{i}\right| ; 0

Ainsi avec \(x_{1}=23\) et \(x_{2}=49\), on obtient \(x_{3}=26, x_{4}=3, x_{5}=3\) et \(x_{6}=0\).
Pour cette séquence on notera \(23 \longrightarrow 49 \longrightarrow 26 \longrightarrow 3 \longrightarrow 3 \longrightarrow 0\). On dit que sa longueur est 6 .
La longueur d'une séquence est le rang de son premier terme nul.

1. Construire la séquence obtenue avec \(x_{1}=50\) et \(x_{2}=30\) puis celle correspondant à \(x_{1}=50\) et \(x_{2}=31\).
2. Construire une séquence de longueur 7 .
3. Montrer que quel que soit \(x_{1}>0\) on peut trouver \(x_{2}>0\) tel que la séquence obtenue soit de longueur 5 .
4. Démontrer que quels que soient les entiers strictement positifs \(x_{1}\) et \(x_{2}\), il existe un entier \(n\) tel que \(x_{n}=0\).
5. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
   a) Écrire un algorithme qui permet de construire une séquence de longueur \(n\) donnée.
   b) Écrire la séquence obtenue pour \(n=13\)
6. Trouver la séquence la plus longue possible avec \(x_{2}
7. Soit \(x_{1}=2016\).

Trouver la valeur de \(x_{2}\) tel que \(x_{2}