Sujet
A Mathville, les rues se coupent à angle droit en formant un quadrillage régulier.
L'unité de longueur est la longueur du côté d'un carré de ce quadrillage.
Dans cette ville, chaque point est repéré par ses coordonnées dans un repère dont l'origine est le point O , situé au centre de la ville.
Les axes de ce repère sont les des rues qui se coupent au point O , orientées comme indiqué sur la figure ci-contre.
Pour calculer la distance d'un point à un autre en suivant les rues, on utilise alors une distance particulière : la taxidistance, ce qui conduit à une curieuse taxi-géométrie étudiée dans ce problème.
La taxi-distance entre deux points A et B est la plus courte distance que devrait parcourir un taxi pour aller de A à B , c'est-à-dire la distance parcourue en suivant les rues. On pourra noter cette distance \(t(A, B)\).
- a) Le musée des mathématiques se situe au point \(M(-3 ; 4)\).
Vérifier que la taxi-distance de ce point à l'origine du repère est égale à 7 .
b) Plus généralement, quelle est la taxi-distance entre deux points \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right)\) et \(B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) ?
2. Un taxi cercle
On appelle taxi-cercle de centre O et de rayon \(R\) ( \(R\) est un nombre entier positif) l'ensemble des points du quadrillage situés à une taxi-distance égale à \(R\) du point O .
On appelle taxi-disque l'ensemble des points du quadrillage situés à une taxi-distance inférieure ou égale à \(R\) du point O .
a) Reproduire la figure ci-jointe et représenter :
- en vert le taxi-cercle de centre O et de rayon 5,
- en rouge les points du taxi-disque de centre O de rayon 5 situés à une distance paire du point O ,
- en bleu les points du taxi-disque de centre O de rayon 5 situés à une distance impaire du point O .
b) Quel est le nombre de points d'un taxi-cercle de rayon \(R\) ?
c) Quel est le nombre de points d'un taxi-disque de
rayon \(R\) ?
- Taxi-médiatrices
On appelle taxi-médiatrice d'un couple de points ( \(A ; B\) ) l'ensemble des points du quadrillage situés à égale taxi-distance des points A et B .
a) Placer au moins 5 points de la taxi médiatrice de ( \(\mathrm{A} ; \mathrm{B}\) ) lorsque \(A(0 ;-1)\) et \(B(1 ; 2)\).
b) Evariste habite un point du quadrillage situé à égale taxi-distance de deux points U et V. Pourquoi peut-on alors affirmer que la taxi-distance de \(U\) à \(V\) est paire ?
c) Des points C et D sont tels que \(x_{C}=y_{D}\) et \(x_{D}=y_{C}\). Déterminer la taxi-médiatrice de ( \(C ; D\) ).
- a) Le musée des mathématiques se situe au point \(\mathrm{M}(-3 ; 4)\). Vérifier que la taxi-distance de ce point au point \(O\) est égale à 7 .
Il existe plusieurs chemins qui réalisent la plus courte taxidistance : pour chacun d'entre-eux, il y a au total 3 déplacements horizontaux et 4 déplacements verticaux, on a alors \(t(O ; M)=3+4=7\)
b) Plus généralement, quelle est la taxi-distance entre deux points \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right)\) et \(B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) ?
Si on note \(x\) le plus grand (resp \(x^{\prime}\) le plus petit) des deux nombres \(x_{A}\) et \(x_{B}\), les plus courts chemins du point A au point B sont ceux qui comportent \(x-x^{\prime}\) déplacements horizontaux et \(y-y^{\prime}\) déplacements verticaux, la taxi-distance est alors \(\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right)\), ce qui peut s' écrire : \(t(A ; B)=\left|x_{B}-x_{A}\right|+\left|y_{B}-y_{A}\right|\).
2. Un taxi-cercle.
On appelle taxi-cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\) ( \(R\) nombre entier positif) l'ensemble des points du quadrillage situés à une taxi-distance égale à \(R\) du point \(O\), et taxi-disque l'ensemble des points du quadrillage situés à une taxi-distance inférieure ou égale à \(R\) du point \(O\)
a) Reproduire la figure ci-jointe et représenter
- en vert le taxi-cercle de centre \(O\) et de rayon 6.
- en rouge les points du taxi-disque centre 0 de rayon 5 situés à une distance paire du point O .
- en bleu les points du taxi-disque centre 0 de rayon 5 situés à une distance impaire du point O .
b) Quel est le nombre de points d'un taxi-cercle de rayon \(R\) ? Un taxi-cercle de rayon \(R\) est l'ensemble des points à coordonnées entières d'un carré de centre O . Il y a sur chacun des côtés \(R+1\) points, soit au total \(4(R+1)-4=4 R\) points.
c) Quel est le nombre de points d'un taxi-disque de rayon \(R\) ?
En observant la figure précédente, on constate qu'il y a dans ce taxi-disque \((R+1)^{2}\) points bleu et \(R^{2}\) points rouges, soit au total \(2 R^{2}+2 R+1\) points.
On peut aussi ajouter le nombres de points des différents taxi-cercles inclus dans le taxi-disque, ce qui fait \(N=4 R+4(R-1)+\cdots+4+1\), Il reste alors à calculer la somme de termes d'une suite arithmétique.
3. Taxi-médiatrices.
On appelle taxi-médiatrice d'un couple de points ( \(A ; B\) ) l'ensemble des points du quadrillage situés à égale taxi-distance des points \(A\) et \(B\).