Sujet
L'association Les Coccinelles a fait fabriquer un jeu de magnets de forme rectangulaire, comme les pièces d'un jeu de dominos.
Chaque magnet est frappé de deux coccinelles portant chacune un nombre entier compris entre 0 et \(n\), où \(n\) est un entier naturel. Cet entier représente les points de la coccinelle.
Les magnets sont tous différents et, dans le jeu, toutes les combinaisons de deux entiers sont présentes.
On a représenté ci-contre un jeu complet de magnets pour \(n=3\).
- Dans cette question, on suppose que \(n=3\). Calculer la somme de tous les points portés par les coccinelles, pour l'ensemble d'un jeu.
- Dans cette question, on suppose que \(n=6\).
a) Combien y a-t-il de magnets dans un jeu complet?
b) Calculer la somme de tous les points. - Dans cette question, on cherche à déterminer la valeur de \(n\) et le nombre de magnets d'un jeu complet, à partir des renseignements qui suivent.
L'association vend chaque magnet au profit d'une organisation non gouvernementale (ONG). Le prix de vente de chaque magnet est calculé en multipliant par 10 centimes d'euro la somme des points portés par les deux coccinelles. Après avoir vendu
tous les magnets du jeu, la recette totale s'élève à peu près à 12500 euros.
Quelle est la valeur de \(n\) ? Combien de magnets constituent ce jeu? - Dans cette question, \(n\) est un entier quelconque.
Exprimer en fonction de \(n\) :
a) le nombre de magnets constituant un jeu complet;
b) la somme de tous les points du jeu ;
c) le nombre moyen de points par magnet.
- Pour \(n=3\), la somme est égale à 30
- Pour \(n=6\) :
a) A l'aide du formulaire \(1+2+3+4+5+6+7=\frac{7 \text { times } 8}{2}=28\). Le jeu contient 28 magnets.
b) A l'aide d'un schéma, par calcul direct, la somme est égale à 168 . - A l'aide du schéma de l'énoncé, si on effectue la somme en colonne des points de chaque coccinelle on obtient: \(12 ; 9 ; 6 ; 3\) correspondant (en lisant de droite à gauche) à une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 3 .
Si on réalise le même schéma pour \(n=4\) et que 1 ?on effectue la somme, toujours en colonne, on obtient : \(20 ; 16 ; 12 ; 8 ; 4\) correspondant à une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 4.
On peut ensuite conjecturer que la suite correspondant à la somme des points de chaque colonne est une suite arithmétique de premier terme \(n\) et de raison \(n\).
Ainsi la somme des points de toutes les coccinelles vérifie : \(S=(n+1) \frac{n(n+2)}{2}\).
Comme l'association a réalisé une recette de 12500 euros, ils ont donc vendu des magnets pour un total de 125000 points. Grâce à la formule ci-dessus, on obtient \(n(n+1)(n+2)=250000\).
\[ n+2 n+\cdots+(n+1) n \approx 125000 . \]
On en tire : \(n(n+1)(n+2) \approx 250000\).
L'examen d'un tableau de valeurs donne pour \(n=62\), une somme de 249984 points. Le jeu est alors constitué de 2016 magnets.
4. L'entier \(n\) est quelconque.
a) Le jeu est constitué de \(\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\) magnets. Attention à bien compter le magnet composé des deux coccinelles avec un 0 , ce qui donne ( \(n+1\) ) termes.
b) La somme des points vaut \(\frac{1}{2} n(n+1)(n+2)\).
c) Le nombre moyen de points par magnet est égal à \(n\). Il suffit d'effectuer le quotient entre la somme totale des points par le nombre de magnets