Sujet
Un joueur lance un palet cylindrique de rayon 2 cm sur une aire de jeu où sont dessinées des lignes constituées par les contours de figures géométriques. On considère que les lignes sont sans épaisseur, et que l'aire de jeu est suffisamment grande pour qu'à chaque lancer, le palet soit à l'intérieur de cette aire de jeu.
On convient que le joueur gagne si le palet ne touche aucune des lignes, et qu'il perd dans le cas contraire.
- Aire de jeu constituée de carrés Dans cette question, les lignes sont formées par des carrés de côté de longueur 16 cm comme sur le dessin ci-contre. Le joueur lance le palet sur cette aire.
a) Justifier que le joueur gagne si le centre du palet se situe dans un carré de côté de longueur 12 cm .
b) On admet que la probabilité que le joueur gagne est égale au rapport des aires de ces deux carrés. Calculer cette probabilité.
c) Si l'on veut que le joueur gagne avec une probabilité égale à 0,01 , quelle devrait être la longueur du côté d'un carré ? - Aire de jeu constituée de cercles Dans cette question, les lignes sont formées par des cercles de même rayon 3 cm , tangents entre eux et disposés comme sur la figure ci-contre. Le joueur lance le palet sur cette aire.
a) Montrer que le palet touche nécessairement les lignes tracées si son centre n'appartient pas à l'un des cercles.
b) Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à \(\frac{\pi}{36}\). On pourra utiliser la configuration ci-contre. - Autre disposition des cercles Dans cette question, les lignes sont à nouveau formées par des cercles de rayon 3 cm tangents entre eux, mais disposés comme sur la figure ci-contre.
Le joueur lance le palet sur cette aire de jeu.
Calculer la probabilité qu'il gagne.
- a) La figure 1 illustre le raisonnement à suivre. Pour gagner le centre du cercle doit être à l'extérieur de la bordure du carré, bordure de 2 cm de large. Le carré en pointillé a donc pour côté 12 cm .
b) La probabilité est égale au quotient des aires de deux carrés : \(\frac{12^{2}}{16^{2}}=\frac{9}{16}\)
c) On note \(x\) le côté du carré. \(x\) est solution de l'équation : \(\frac{(x-4)^{2}}{x^{2}}=0,01\) qui, puisque \(x\) est positif, se simplifie en \(\frac{x-4}{x}=0,1\). On en tire \(\frac{40}{9}\).
figure 1
figure 2
- a) La diagonale du carré est égale à \(6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\) or la distance \(M N=6 \sqrt{2}-6 \mathrm{~cm}\) (figure 2).
Cette distance est donc inférieure au diamètre du palet.
b) La partie est gagnée uniquement si le centre du palet est à l'intérieur du disque de rayon 1 cm concentrique avec le disque du pavage.
La probabilité de gagner est donc égale à : \(\frac{\pi \times 1^{2}}{6^{2}}=\frac{\pi}{36}\), puisque l'aire du carré dessiné dans l'énoncé est égale à 36 . - On s'inspire de la méthode de la question 2.
- On montre qu'on ne peut pas gagner la partie si le centre du palet est situé à l'extérieur d'un des disques du pavage.
- On constate alors que le motif du pavage peut être inscrit dans un hexagone régulier dans lequel un des cercles du pavage est inscrit (figure 3).
- On calcule l'aire de l'hexagone en question en le décomposant en 6 triangles équilatéraux de hauteur \(C H=3 \mathrm{~cm}\), donc de côté \(C A=C B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\).
L'aire de l'hexagone est donc égale à \(\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 3 \times 6\), soit
figure 3
\(18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\).
- La probabilité cherchée est égale au quotient entre l'aire du disque de rayon 1 et l'aire de l'hexagone, soit \(\frac{\pi}{18 \sqrt{3}}(\) environ 0,1\()\).