Olympiades · Académie Dijon · 2016 · Toutes séries
Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée ! La calculatrice est votre alliée, la feuille de brouillon aussi. . . Pensez à écrire toutes vos idées.
Monsieur François Carré est né en 1980. Il aura donc 45 ans en 2025, or 2025 est le carré de 45 !
Son lointain aïeul, Clovis Carré, est né en l'an de grâce 650. Il a donc eu 26 ans en 676, or 676 est le carré de 26 ! Les années 650 et 1980 sont appelées des années quarrables.
Dans tout ce qui suit, on ne considère que des années à partir de l'an 1 .
Quelle est son année de naissance?
2. Quel est le siècle le plus récent contenant deux années quarrables?
Et quel est le premier siècle qui n'en contiendra aucune?
3. Charles Carré a 60 ans de plus que son petit fils Louis Carré. Tous deux sont nés lors d'années quarrables. Trouver les quatre années de naissance possibles de Charles.
En appelant \(A_{n}\) l'année de naissance et \(n\) l'âge, \(A_{n}\) étant carrable, on a alors la relation : \(n^{2}=A_{n}+n\) soit \(A_{n}= n^{2}-n=n(n-1)\).
42 est le seul entier dont le carré est compris entre 1700 et 1800 ; à l'aide de la définition, Marie-Antoinette est née en 1722 (1764-42).
2. 2) En affichant la table de valeur de, on obtient:
Ainsi : \(A_{n+1}=n^{2}-n+2 n=A_{n}+2 n\).
On constate donc un écart de \(2 n\) entre les deux années de naissance carrables \(A_{n}\) et \(A_{(n+1)}\). Comme Charles et Louis ont 60 ans d'écart, \(n=30\) et on obtient \(A_{30}=30^{-} 30=870\) et \(A_{31}=31^{2}-31=930\).
On recommence avec \(A_{n}\) et \(A_{n+2}\). L'écart est de \(4 n+2\). L'équation \(4 n+2=60\) ne donne pas une solution entière donc il n'y a pas de solution avec deux années carrables ayant 60 ans d'écart.
On continue avec \(A_{n}\) et \(A_{n+3}\). L'écart est de \(6 n+6\). L'équation \(6 n+6=60\) donne \(n=9\) et on obtient \(A_{9}=9 \times 8=72\) et \(A_{12}=12 \times 11=132\).
On continue avec \(A_{n}\) et \(A_{n+4}\). L'écart est de \(8 n+12\). L'équation \(8 n+12=60\) donne \(n=6\) et on obtient \(A_{6}=6^{2}-6=30\) et \(A_{10}=90\).
On continue avec \(A_{n}\) et \(A_{n+5}\). L'écart est de \(10 n+20\). L'équation \(10 n+20=60\) donne \(n=4\) et on obtient \(A_{4}=12\) et \(A_{9}=72\).
Les autres cas ne donnent plus de solutions entières, ce sont les 4 solutions demandées.
Il faut décomposer 30 en somme d'entiers consécutifs :