Sujet
Un élastique circulaire souple et suffisamment grand posé à plat sur une feuille de papier peut être déformé successivement pour obtenir des nœuds et dont la trace sur la feuille est une courbe fermée plane comportant des nœuds, des arcs et des régions.
D'une étape à l'autre, on crée de nouveaux nœuds sans faire passer les arcs créés par les nœuds présents obtenus à l'étape précédente. La configuration ci-contre ne peut donc pas être réalisée.
Voici quelques exemples de déformation possibles.
a)
b)
c)
On appelle :
- Nœud tout croisement de l'élastique.
- Boucle toute portion de l'élastique dont les extrémités sont un même nœud et qui n'en contient pas d'autre.
- Arc toute portion de l'élastique dont les extrémités joignent exactement deux nœuds et ne contenant aucune boucle ou autre nœud.
- Région toute surface fermée délimitée par :
- Soit une boucle
- Soit des arcs et ne contenant aucun arc en son intérieur
Par exemple :
- La figure a) est composée d'un nœud, 2 boucles, 2 régions.
- La figure b) est composée de 3 nœuds, 6 arcs, 4 régions.
Partie A
- Déterminer le nombre de nœuds, boucles, arcs et régions de la figure c ).
On ne s'autorise désormais que deux mouvements notés \(T\) et \(R . T\) agit sur un arc ou une boucle par torsion en créant une boucle extérieure.
Exemple :
\(R\) agit sur une boucle par rabattement de celle-ci sur un arc périphérique ou sur une boucle de façon à l'intercepter en deux nouveaux points distincts. Exemple :
2. Recopier puis compléter les deux arbres ci-dessous en représentant les déformations obtenues par application des mouvements \(T\) ou \(R\) sur l'arc ou la boucle de droite.
3. On note \(\mathscr{C}\) l'ensemble des courbes obtenues à partir de la courbe a) par une succession de torsions \(T\) ou rabattements \(R\) effectuées dans un ordre quelconque mais compatible.
À chaque courbe \(X\) de \(\mathscr{C}\) on associe un triplet ( \(c, r, a\) ) où :
- \(c\) désigne le nombre de nœuds;
- \(r\) le nombre de régions;
- \(a\) le nombre total d'arcs et boucles.
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
| Nbre de rabattements \(R\) | Nbre de torsions \(T\) | \(c\) | \(r\) | \(a\) |
| 1 | 0 | |||
| 0 | 1 | |||
| 2 | 3 | |||
| \(p\) | \(q\) |
b) Proposer une preuve des résultats énoncés dans la dernière ligne du tableau.
4. Déterminer une relation simple entre \(c, r\) et \(a\) valable pour tout \(X \in \mathscr{C}\).
Justifier la réponse.
Partie B
Deux courbes \(X\) et \(X^{\prime}\) de \(\mathscr{C}\) étant données, on peut obtenir plusieurs nouvelles courbes, toutes notées \(X * X^{\prime}\) en procédant comme suit :Partie A
- La figure c) est composée de 4 nœuds, une boucle, 7 arcs et 5 régions.
- Arbres
- a) Tableau
| Nbre de rabattements \(R\) | Nbre de torsions \(T\) | \(c\) | \(r\) | \(a\) |
| 1 | 0 | 3 | 4 | 6 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 8 | 9 | 16 |
| \(p\) | \(q\) | \(1+2 p+q\) | \(2+2 p+q\) | \(2+4 p+2 q\) |
b) D'une étape \(n\) à l'étape \(n+1\), l'action de \(R\) donne \(\left\{\begin{aligned} c_{n+1} & =c_{n}+2 \\ r_{n+1} & =r_{n}+2 \\ a_{n+1} & =a_{n}+4\end{aligned}\right.\) et l'action \(T\) donne \(\left\{\begin{aligned} c_{n+1} & =c_{n}+1 \\ r_{n+1} & =r_{n}+1 \\ a_{n+1} & =a_{n}+2\end{aligned}\right.\) avec \(c_{0}=1, r_{0}=2\) et \(a_{0}=2\).
4. D' après la dernière ligne du tableau du 3.a), pour tout \(X \in \mathscr{C}\) on a : \(c+r-a=1\).
Partie B
- \(\left\{\begin{aligned} c \prime & =c+c^{\prime} \\ r " & =r+r^{\prime}-1 \\ a " & =a+a^{\prime}\end{aligned}\right.\)