Sujet
I] Aire d'un pentagone régulier :
Considérons un pentagone régulier et notons \(c\) et \(d\) les longueurs respectives d'un côté et d'une diagonale. (figure ci-contre)Dans un pentagone régulier, on a :
- Toutes les diagonales sont de même longueur.
- Chaque diagonale est parallèle à un côté du pentagone.
- Deux diagonales issues d'un même sommet forment un losange avec les prolongements des deux côtés qui leurs sont respectivement parallèles.
- Justifier que \(\frac{d}{c}=\frac{c}{d}+1\).
- On pose \(\Phi=\frac{d}{c}\) le rapport entre la longueur d'une diagonale et celle d'un côté du pentagone régulier.
a) Justifier que \(\Phi\) est solution de l'équation \(x^{2}-x-1=0\).
b) En déduire que \(\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). - Afin de calculer l'aire d'un pentagone régulier on peut décomposer celui-ci en 3 triangles \(\mathrm{EAD}, \mathrm{DAB}\) et CBD . (figure ci-contre)
Démontrer que l'aire du pentagone ABCDE , en fonction de \(c\) et \(\Phi\), est égale à \(\frac{c^{2}}{4}(\sqrt{4 \Phi+3}+2 \Phi \sqrt{3-\Phi})\).
I] Aire d'un pentagone régulier :
- Dans la configuration de Thalès formée des triangles FBC et FAD, on a :
\[ \frac{d}{d+c}=\frac{c}{d} \text { ou encore } \frac{d+c}{d}=\frac{d}{c} \text { ce qui donne bien } \frac{d}{c}=1+\frac{c}{d} . \]
- On pose \(\Phi=\frac{d}{c}\).
a) D'après la question 1., \(\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\), ce qui donne \(\Phi^{2}=\Phi+1\) et ainsi \(\Phi^{2}-\Phi-1=0\).
b) L'équation du second degré \(x^{2}-x-1=0\) admet deux solutions de signes contraires. \(\Phi\) étant positif, la seule solution possible est \(\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). - Aire \((\mathrm{ABCDE})=2 \times \operatorname{aire}(\mathrm{BCD})+\operatorname{aire}(\mathrm{ABD})\).
\(\operatorname{Aire}(\mathrm{BCD})=\frac{1}{2} d \sqrt{c^{2}-\frac{d^{2}}{4}}\) et aire \((\mathrm{ABD})=\frac{1}{2} c \sqrt{d^{2}-\frac{c^{2}}{4}}\).
Donc aire \((\mathrm{ABCDE})=d \sqrt{c^{2}-\frac{d^{2}}{4}}+\frac{1}{2} c \sqrt{d^{2}-\frac{c^{2}}{4}}\)
\[ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} c \Phi \sqrt{4 c^{2}-c^{2} \Phi^{2}}-\frac{1}{4} c \sqrt{4 c^{2} \Phi^{2}-c^{2}} \\ & =\frac{c^{2}}{4}\left(2 \Phi \sqrt{4-\Phi^{2}}+\sqrt{4 \Phi^{2}-1}\right) \\ & =\frac{c^{2}}{4}(2 \Phi \sqrt{4-(\Phi+1)}+\sqrt{4(\Phi+1)-1}) \\ & =\frac{c^{2}}{4}(2 \Phi \sqrt{3-\Phi}+\sqrt{4 \Phi+3}) . \end{aligned} \]
II] Aire d'un hexagone :
Le triangle OAB est équilatéral.\[ \operatorname{aire}(\mathrm{ABCDEF})=6 \times \operatorname{aire}(\mathrm{OAB})=6 \times \frac{1}{2} c \sqrt{c^{2}-\frac{c^{2}}{4}}=\frac{3 c^{2} \sqrt{3}}{2} . \]
III] Le ballon de foot :
Calculons un encadrement de \(c\) sachant que la circonférence du ballon doit mesurer entre 68 cm et 70 cm . On a donc \(68 \leqslant 2 \pi r \leqslant 70\) où \(r\) est le rayon du ballon.On a : surface(Ballon) \(=4 \pi r^{2}=\frac{(2 \pi)^{2}}{\pi}\),