Sujet
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels.
- On appelle << addition tropicale>> de \(a\) et \(b\) et on note \(a \oplus b\) la quantité
\[ a \oplus b=\min (a ; b) \]
c'est à dire le plus petit des deux nombres \(a\) et \(b\).
- On appelle « multiplication tropicale» de \(a\) et \(b\) et on note \(a \otimes b\) la quantité
\[ a \otimes b=a+b, \]
c'est à dire l'addition habituelle de \(a\) et \(b\).
D'une manière plus générale, l'addition tropicale de plusieurs nombres correspond au plus petit de ses nombres et la multiplication tropicale de plusieurs nombres est l'addition habituelle de ces nombres.
On note aussi \(a^{(2)}=a \otimes a\).
Exemple : On a par exemple, \(3 \otimes 2=\min (3 ; 2)=2\) et \(2,5 \otimes 3=2,5+3=5,5\).
- Effectuer les opérations suivantes :
(a) \(5 \oplus(-5)\);
(b) \(7 \oplus 7\);
(c) \(3 \oplus 1 \oplus 7\);
(d) \(\frac{3}{5} \oplus \frac{1}{2}\);
(e) \(5 \otimes(-5)\);
(f) \(3^{(2)}\);
(g) \(3 \otimes 1 \otimes 7\);
(h) \(6 \otimes(4 \oplus 2)\). - (a) \(a\) est un nombre réel. On précise que le nombre \(a^{2}\) est le carré habituel de \(a\), c'est à dire \(a \times a\) où × désigne la multiplication habituelle.
Calculer la quantité \(a^{2}+1 \oplus 2 a\).
(b) \(a\) et \(b\) sont deux nombres strictement positifs.
Calculer, selon les valeurs de \(a\) et \(b\), la quantité \(\frac{a}{b} \oplus \frac{a+1}{b+1}\).
3. Résoudre les équations suivantes :
(a) \(x^{2}=9\);
(b) \(x^{(2)}=-1\);
(c) \(2 \oplus x=0\);
(d) \(2 \oplus x=5\);
(e) \(2 \oplus x=x\).
4. Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs.
(a) Montrer que \((a \oplus b)^{(2)}=a^{(2)} \oplus b^{(2)}\);
(b) Montrer que l'on a aussi \((a \oplus b)^{(2)}=a^{(2)} \oplus(2 \otimes a \otimes b) \oplus b^{(2)}\);
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans un repère.
5. (a) Le point \(A(3 ; 12)\) appartient-il à la «droite tropicale» d'équation \(y=(2 \otimes x) \oplus 6\) ? Même question pour les points \(B(5 ; 6), C(6 ; 6)\) et \(D(1 ; 3)\).
(b) Tracer dans un repère orthonormé la «droite tropicale» d'équation \(y=(2 \otimes x) \oplus 6\).
On choisira un repère dans lequel 1 unité de longueur correspond à 1 cm .
(c) Dans un repère, on considère les droites tropicales \(d\) d'équation \(y=x\) et Δ d'équation \(y=x \oplus 0\).
Est-il vrai que les droites \(d\) et \(\Delta\) sont confondues? Justifier.
(d) Décrire, éventuellement à l'aide d'une figure, l'ensemble formé des points \(M(x ; y)\) vérifiant l'équation \(y=(a \otimes x) \oplus b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
6. (a) Déterminer l'intersection des droites \(d_{1}\) d'équation \(y=x\) et \(d_{2}\) d'équation \(y=1 \otimes x\).
(b) Déterminer l'intersection des droites \(d_{3}\) d'équation \(y=(2 \otimes x) \oplus 6\) et \(d_{4}\) d'équation \(y=(4 \otimes x) \oplus 4\).
(c) \(b\) et \(b^{\prime}\) sont deux nombres réels distincts. Déterminer l'intersection des droites \(d_{5}\) d'équation \(y=x \oplus b\) et \(d_{6}\) d'équation \(y=x \oplus b^{\prime}\).
- a) -5
b) 7
c) 1
d) \(\frac{1}{2}\)
e) 0
f) 6
g) 11
h) 8 - \(\min \left(a^{2}+1 ; 2 a\right)=2 a \operatorname{car}(a-1)^{2}=a^{2}-2 a+1 \geqslant 0\).
- On doit calculer \(\min \left(\frac{a}{b} ; \frac{a+1}{b+1}\right)\).
Or, \(\frac{a}{b}-\frac{a+1}{b+1}=\frac{a-b}{b(b+1)}\).
Comme \(b(b+1)>0\), le résultat est :
\[ \begin{aligned} & \frac{a+1}{b+1} \text { si } a \geqslant b \\ & \frac{a}{b} \text { si } a \leqslant b \end{aligned} \]
- a) \(2 x=9\) d' où \(x=4,5\).
b) \(2 x=-1\) d' où \(x=-0,5\).
c) \(\min (2 ; x)=0\) d'où \(x=0\).
d) \(\min (2, x)=5\). Impossible.
e) \(\min (2, x)=2 . S=]-\infty ; 2]\). - a) - d'une part : \(\min (a ; b)+\min (a ; b)=2 a\) si \(a \leqslant b\) et \(2 b\) sinon,
- d'autre part : \(\min (2 a ; 2 b)=2 a\) si \(a a \leqslant b\) et \(2 b\) sinon.
b) Le double produit dans l'identité remarquable s'écrit ici \(2+a+b\). Or, - si \(a \leqslant b, 2 a \leqslant 2+a+b\);
- si \(a \geqslant b, 2 b \leqslant 2+a+b\).
Donc, \(2+a+b\) n'est jamais la plus petite des trois quantités \(2 a, 2+a+b\) et \(2 b\).
La réponse précédente permet de conclure.
6. a) • \(\min (2+3 ; 6)=5\). Or \(y(A)=12\) donc A n'appartient pas à la droite.
- \(\min (2+5 ; 6)=6\). Comme \(y(B)=6, \mathrm{~B}\) appartient à la droite.
- \(\min (2+6 ; 6)=6\). Comme \(y(C)=6, \mathrm{C}\) appartient à la droite.
- \(\min (2+1 ; 3)=3\). Comme \(y(D)=3, \mathrm{D}\) appartient à la droite.
b) La droite a pour équation \(y=\min (x+2 ; 6)\), c'est-à-dire : \(x+2\) si \(x \leqslant 4,6\) sinon. (Voir représentation graphique ci-dessous.)
c) La droite \(d\) a pour équation \(y=x\) tandis que la droite \(\Delta\) a pour équation \(y=\min (x, 0)\), c'est-à-dire : \(x\) si \(x<0,0\) sinon.
Donc \(d\) et \(\Delta\) ne sont pas confondues.
d) L'équation de la droite est \(y=\min (x+a ; b)\), c'est-à-dire : \(x+a\) si \(x \leqslant b-a, b\) sinon (Voir représentation graphique ci-dessous.)
- a) Déterminer l'intersection des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) revient à résoudre l'équation \(x=x+1\). Cette équation ne possède aucune solution réelle donc l'intersection des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) est vide.
b) Déterminer l'intersection des droites \(d_{3}\) et \(d_{4}\) revient à résoudre l'équation \(\min (x+2 ; 6)=\min (x+4 ; 4)\). Cette équation possède une unique solution réelle : \(x=2\). L'intersection des droites \(d_{3}\) et \(d_{4}\) est donc composée d'un point : le point de coordonnées ( \(2 ; 4\) ).
c) Déterminer l'intersection des droites \(d_{5}\) et \(d_{6}\) revient à résoudre l'équation \(\min (x ; b)=\min \left(x ; b^{\prime}\right)\). Cette équation est vérifiée :
- pour tout réel \(x \leqslant b\) si \(b
- pour tout réel \(x \leqslant b^{\prime}\) si \(b>b^{\prime}\).
L'intersection des droites \(d_{5}\) et \(d_{6}\) est donc l'intervalle ] \(\left.-\infty ; \min \left(b ; b^{\prime}\right)\right]\).