Sujet
La grande roue au repos
Une grande roue de 30 m de rayon compte 8 nacelles comme sur le dessin ci-contre : chaque nacelle sera assimilée à un point. La distance du sol au centre de la roue est de 33 m . Cette roue tourne à vitesse constante.
Un groupe d'adolescents décide de profiter de la vue dégagée et monte dans la nacelle du bas.
- Quelle distance vont-ils parcourir en un tour? (On arrondira le résultat au dm près)
- Sachant qu'une nacelle met 2 min pour revenir à son emplacement d' origine, quelle est sa vitesse en \(\mathrm{m} . \mathrm{s}^{-1}\) ? (On gardera 2 chiffres après la virgule)
- a) a) Au bout de 45 s , à quelle hauteur du sol, arrondie au mètre, se situera la nacelle?
b) Après 1 min et 10 s , à quelle hauteur du sol, arrondie au mètre, se situera la nacelle? - L'un des adolescents est sujet au vertige à 60 m d'altitude.
Pendant combien de temps, arrondi à la seconde près, en souffrira-t-il?
- La nacelle parcourt le périmètre d'un cercle de rayon 30 m soit : \(2 \pi \times 30=60 \pi \approx 188,5\).
Les adolescents vont donc parcourir 188,5 m en 1 tour arrondi au dm.
2. Ils parcourent \(60 \times \pi \mathrm{m}\) en 2 min ou en 120 s . La vitesse est donc : \(v=\frac{60 \times \pi}{120}=\frac{\pi}{2} \approx 1,57 \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1}\)
3. a) Au bout de 45 s , la nacelle aura parcouru les \(3 / 4\) d'un demitour et se trouvera au point marqué si la roue tourne dans le sens trigonométrique. Elle sera à l'altitude :
\(33+30 \times \sin (45)=33+30 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=33+15 \sqrt{2} \approx 54,21 \mathrm{~m}\). soit \(\mathbf{5 4 ~ m}\) arrondie au mètre
b) Après 1 min et 10 s , la nacelle sera à la même hauteur qu'après 50 s . Elle sera à l'altitude :
\[ 33+30 \times \sin (60)=33+30 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=33+15 \sqrt{3} \approx 58,98 \mathrm{~m} . \]
Les adolescents seront à \(\mathbf{5 9 m}\) du sol environ.
4. Cherchons la mesure \(\theta\) en degrés appartenant à \([0 ; 90]\) des angles à partir de laquelle la roue dépasse les 60 mètres d'altitude :
\(33+30 \times \sin (\theta) \geqslant 60 \Leftrightarrow \sin (\theta) \geqslant \frac{27}{3} \Leftrightarrow \sin (\theta) \geqslant 0,9\).
Soit \(\sin ^{-1}(0,9) \leqslant \theta \leqslant 90\).
Il sera sujet au vertige pendant le temps que met la roue à tourner de \(2 \times\left(90-\sin ^{-1}(0,9)\right) \approx 51,68\) degrés.
Comme la vitesse est constante, il y a proportionnalité entre le mesure de l'angle au centre et le temps mis pour le parcourir.
| Temps en sec. | 120 s | \(\frac{120 \times 51,68}{360}=\frac{51,68}{3} \approx 17,23\) |
| Angles en deg | 360 | 51,68 |
Cet adolescent sera sujet au vertige pendant 17 s environ.