Sujet
\(n\) paires d'enfants jumeaux, soit \(2 n\) enfants, se rassemblent, \(n\) étant un entier supérieur ou égal à 1 . Chacun tient par une main son jumeau et, au hasard, de son autre main prend la main libre d'un enfant.
On s'intéresse à l'événement \(E_{n}\) « obtenir une seule ronde constituée des \(2 n\) enfants ». Peu importe que ceux-ci soient tournés vers l'intérieur ou l'extérieur de la ronde.
Le problème consiste à déterminer la probabilité \(p_{n}\) de cet événement.
- Dans cette question \(n=1\). Que vaut la probabilité \(p_{1}\) ?
- Dans cette question \(n=2\). Montrer que la probabilité \(p_{2}\) est égale à \(\frac{2}{3}\).
- Dans cette question \(n=3\).
On modélise le problème en représentant les jumeaux comme l'indique le schéma ci-dessous.
L'expérience consiste alors à associer les nombres deux par deux. Une issue sera notée, par exemple : \(\omega=(1-4,2-3,5-6)\).
a) L'issue \(\omega\) ci-dessus est-elle favorable à l'événement \(E_{3}\) ?
b) Expliquer pourquoi on peut se contenter de désigner \(\omega\) par \(e=(1-4,2-3)\).
c) Après avoir reproduit et complété l'arbre suivant, déterminer le nombre d'issues possibles ?
- \(n=1\) : il n'y a qu'une seule façon pour 2 jumeaux qui se donnent la main de fermer la ronde. Obtenir une ronde est un événement certain. Donc \(p_{1}=1\).
- \(n=2\) : en nommant 1 et 2 , les deux jumeaux de la première paire et 3 et 4 les deux jumeaux de la seconde, les trois issues équiprobables possibles peuvent être notées (1-2, 3-4), (1-3, 2-4) et (1-4, 2-3). Dans le premier cas on obtient 2 petites rondes, et dans les deux autres une grande ronde. La probabilité cherchée est donc \(p_{2}=\frac{2}{3}\).
- \(n=3\)
a) L'issue \(\omega\) n'est pas favorable à l'événement \(\mathrm{E}_{3}\), car à la fin de l'épreuve on obtient deux rondes : une «petite 5-6» et une « 1-2-3-4» constituée avec deux paires de jumeaux.
b) On peut se contenter de nommer \(\omega\) par \(e=(1-4,2-3)\) car dès lors que les enfants 1 et 4 , respectivement 2 et 3 , se sont donné la main, il n'y a pas d'autre alternative pour les enfants 5 et 6 que de se donner leur seconde main libre entre eux.
c) Voici l'arbre complet :
Le nombre total d'issues est \(5 \times 3=15\).
d) Le nombre d'issues favorables à \(\mathrm{E}_{3}\) est \(4 \times 2=8\) : ces huit issues sont notées en caractères gras sur l'arbre. Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. Donc \(p_{3}=\frac{8}{15} \approx 0,53\).
Il est vrai que \(p_{3} \geqslant 50 \%\).
4. \(n=4\) :
La construction d'un arbre, analogue à celui fait à la question 3, conduit aux résultats suivants :
Le nombre d'issues possibles est \(7 \times 5 \times 3=105\); le nombre d'issues favorables à l'événement \(\mathrm{E}_{4}\) est \(6 \times 4 \times 2=48\). Donc \(p_{4}=\frac{48}{105}=\frac{16}{35} \approx 0,46\). Il est faux que \(p_{4} \geqslant 50 \%\).
5. Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on admet que \(p_{n+1}=\frac{2 n}{2 n+1} p_{n}\).