Exercice 3 — Une histoire de moyenne

Sujet

Paul veut calculer sa moyenne. Il a eu deux notes égales à 15, douze notes égales à 8 et sept autres notes comprises entre 9 et 14 . La moyenne des sept notes comprises entre 9 et 14 est 12 .

Déterminer sa moyenne annuelle
2. Gwénaëlle a eu cinq notes égales à 7 , six notes égales à 9 , trois notes égales à 10 , quatre notes égales à 12 , une note égale à 13 et d'autres notes égales à 15 .

Sachant que sa moyenne annuelle est 10 , déterminer le nombre de notes égales à 15 .
3. Yohann a eu 15 pour note maximale et 8 pour note minimale. Sa moyenne annuelle est 10 . S'il fait la moyenne des notes autres que 15 et 8 , il trouve 12 .

Justifier qu'il a eu au moins deux notes égales à 15 et plus de six notes égales à 8 .
4. Pierre a eu plusieurs notes, toutes comprises entre 6 et 15 .

Il a eu exactement six devoirs notés entre 7 et 14 .
S'il fait la moyenne de ces six notes (comprises entre 7 et 14 ), il obtient 12 .
Le nombre de ses notes égales à 6 est le double du nombre de ses notes égales à 15 .

Sophie a eu plusieurs notes, toutes comprises entre 6 et 15.

Elle a eu exactement neuf devoirs notés entre 7 et 14 .
Si elle fait la moyenne de ces neuf notes (comprises entre 7 et 14), elle obtient 12 .

Pierre et Sophie constatent que le nombre de notes égales à 15 de Sophie est le même que le nombre de notes égales à 6 de Pierre et que le nombre de notes égales à 6 de Sophie est le même que le nombre de notes égales à 15 de Pierre.

Sachant que la moyenne de Sophie est de 2 points supérieure à la moyenne de Pierre, déterminer la moyenne de ces deux élèves.

\(\frac{2 \times 15+12 \times 8+7 \times 12}{2+12+7}=10\). Donc sa moyenne est 10 .
Soit \(x\) le nombre de notes égales à 15

\[ \frac{5 \times 7+6 \times 9+3 \times 10+4 \times 12+13+x \times 15}{5+6+3+4+1+x}=10 \]

D'où \(\frac{180+15 x}{19+x}=10\) donc \(180+15 x=190+10 x\) d'où \(x=2\).
Il a eu deux notes égales à 15 .
3. Soit \(x\) le nombre de devoirs dont la note est \(15, y\) le nombre de devoirs dont la note est 8 et \(z\) le nombre de devoir dont la note est comprise entre 8 et 15 .
Donc \(\frac{15 x+8 y+12 z}{x+y+z}=10\).
D' où \(15 x+8 y+12 z=10 x+10 y+10 z\) donc \(5 x-2 y+2 z=0\).
Donc \(5 x=2(y-z)\).
\(x\) est donc un nombre pair or \(x \neq 0\) donc \(x \geqslant 2\).
D'où \(5 x \neq 10\) donc \(y-z \geqslant 5\) et donc \(y \geqslant z+5\). Or \(z>1\) donc \(y>6\).
4. Soit \(x\) le nombre de devoirs de Pierre dont la note est 15 ;

Sa moyenne est donc \(\overline{x_{1}}=\frac{12 x+72+15 x}{3 x+6}=\frac{27 x+72}{3 x+6}=\frac{9 x+24}{x+2}\).
La moyenne de Sophie est \(\overline{x_{2}}=\frac{6 x+108+30 x}{3 x+9}=\frac{12 x+36}{x+3}\).
Or \(\overline{x_{2}}=\overline{x_{1}}+2\) donc \(\frac{12 x+36}{x+3}=\frac{9 x+24}{x+2}+2=\frac{11 x+28}{x+2}\).
D'où \(x^{2}-x-12=0\)
\(\Delta=49\) donc 2 solutions \(x_{1}=-3\) et \(x_{2}=4\).
Le nombre de devoirs de Pierre dont la note est 15 est 4 sa moyenne est donc de 10 et celle de Sophie est de 12 .