Sujet
Un lièvre infatigable, partant du point ( \(0 ; 0\) ), a un déplacement comme indiqué ci-contre. Il se déplace d'un point à coordonnées entières vers un autre point à coordonnées entières parallèlement aux axes du repère orthonormé. Il parcourt une unité en une seconde.
- a) Combien de temps le lièvre met-il pour aller de l'origine au point de coordonnées ( \(1 ; 2\) )? Puis de l'origine au point de coordonnées ( \(3 ; 3\) )? Puis de l'origine au point de coordonnées ( \(4 ; 2\) )?
b) ) Quelles sont les coordonnées du point atteint en 1 minute à partir de l'origine ? - a) Quel est le temps mis par le lièvre infatigable pour atteindre le point de coordonnées ( \(n ; n\) ) depuis l'origine?
On pourra distinguer les cas où \(n\) est pair et où \(n\) est impair.
On admet que \(1+2+3 \cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
b) Quel est le temps mis par le lièvre infatigable pour atteindre le point de coordonnées ( \(n ; p\) ) depuis l'origine?
3. Déterminer les coordonnées du point atteint en 2016 secondes.
- a) - Le point de coordonnées ( \(1 ; 2\) ) est atteint en 7 secondes,
- Le point de coordonnées \((3 ; 3)\) est atteint en 12 secondes,
- Le point de coordonnées ( \(4 ; 2\) ) est atteint en 18 secondes.
b) Le point atteint en 1 minute, c'est-à-dire en 60 secondes a pour coordonnées \((7 ; 3)\).
- a) - Si \(n\) est impair le parcourt est composé de \(n\) segments «horizontaux» de longueur allant de 1 à \(n\), \(n-1\) segments verticaux de longueur allant de 1 à \(n-1\), et \(n\) segments de longueur 1 «portés» par les deux axes. Soit une longueur totale de :
\[ (1+2+\cdots+n)+(1+2+\cdots n-1)+1+1+\cdots 1=2 \times(1+2+\cdots+n)=2 \times \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1) . \]
- Si \(n\) est pair le parcourt est composé de \(n-1\) segments «horizontaux» de longueur allant de 1 à \(n\) et \(n\) segments verticaux de longueur allant de 1 à \(n-1\), et \(n\) segments de longueur 1 «portés» par les deux axes. Soit une longueur totale de :
\[ (1+2+\cdots+n-1)+(1+2+\cdots n)+1+1+\cdots 1=2 \times(1+2+\cdots+n)=2 \times \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1) . \]
Dans les deux cas on obtient que le temps (qui correspond au nombre d'unités de longueur du déplacement) est égal à \(n(n+1)\) secondes.
b) Quel est le temps mis par le lièvre infatigable pour atteindre le point M de coordonnées \((n ; p)\) ?
- Si \(n=p\), déjà fait
- Si \(n
- si \(p\) est pair alors la distance parcourue est celle de 0 à \(P(p ; p)\) plus celle de P à M :
\[ p(p+1)+(p-n)=p^{2}+2 p-n . \]
- si \(p\) est impair alors la distance parcourue est celle de 0 à \(P(p ; p)\) moins celle de M à P :
\[ p(p+1)-(p-n)=p^{2}+n . \]
- Si \(n>p\) :
- si \(p\) est impair alors la distance parcourue est celle de 0 à \(\mathrm{N}(n ; n)\) ) plus celle de N à M :
\[ n(n+1)+(n-p)=n^{2}+2 n-p \]