Sujet
On appelle « mot» n'importe quelle juxtaposition de lettres que ce « mot» ait un sens ou pas. On associe à chaque mot un couple de nombres entiers \((x, y)\) de la manière suivante : Au début \((x, y)\) vaut \((0,0)\). On considère alors les lettres du mot, les unes après les autres, de gauche à droite ; chaque lettre du mot transforme le couple \((x, y)\) selon la règle suivante :
la lettre A change \(x\) en \(x+1\), la lettre B change \(x\) en \(x-1\), la lettre C change \(x\) en \(x+0.5\);
la lettre D change \(y\) en \(y+1\), la lettre E change \(y\) en \(y-1\), la lettre F change \(y\) en \(y+0.5\);
la lettre G change \(x\) en \(x+1\), la lettre H change \(x\) en \(x-1\), la lettre I change \(x\) en \(x+0.5\);
et ainsi de suite, en suivant l'ordre alphabétique.
Exemples : le mot « HD » donne le couple ( \(-1 ; 1\) )
le mot «BAC» donne le couple ( 0,\(5 ; 0\)
le mot «KAALL» donne le couple ( \(2 ; 0\) ).
- Quel couple obtient-on avec le mot «SELFIE» ?
- Combien existe-t-il de mots de deux lettres conduisant au couple ( \(1 ; 1\) ) ?
- Combien existe-t-il de mots de trois lettres conduisant au couple ( \(1 ; 1\) ) ?
- Peut-on obtenir le couple ( \(0 ;-0,5\) ) avec un mot de deux lettres, avec un mot de trois lettres, avec un mot de quatre lettres, avec un mot de cinq lettres et avec un mot de \(n\) lettres ( \(n\) entier naturel supérieur ou égal à 2 ) ?
- On considère le plan muni d'un repère orthonormé.
En partant de l'origine du repère, on arrive avec le mot OLYMPIADES au point de coordonnées ( \(5 ; 1,5\) ) comme indiqué sur le graphique ci-contre.
a) En partant de l'origine du repère, peut-on arriver au point de coordonnées \((5,6)\) avec un mot de 10 lettres?
b) Quelles sont les valeurs que peut prendre le nombre y pour arriver au point de coordonnées ( \(-3,5 ; y\) ) en partant de l'origine du repère avec un mot de 10 lettres ?
c) Dans quelle partie du plan se trouvent les points associés à un mot de 10 lettres.
On peut se servir du tableau suivant :
| \(x\) | 1 | A | G | M | S | Y |
| -1 | B | H | N | T | Z | |
| 0,5 | C | I | O | U | ||
| \(y\) | 1 | D | J | P | V | |
| -1 | E | K | Q | W | ||
| 0,5 | F | L | R | X |
- SELFIE on a \(x=1+0.5=1.5\) et \(y=-1+0.5+0.5-1=-1\) d'où le couple ( \(1.5,-1\) )
JOUEUR on a \(x=0.5+0.5=1\) et \(y=1-1+0.5=0.5\) d'où le couple ( \(1,0.5\) )
2. Mots de 2 lettres conduisant à ( 1,1 ) : exemple AD ou DA : \(5 \times 4+4 \times 5=40\) mots.
3. Mots de 3 lettres conduisant à \((1,1)\) :
Pour \(x=1\) on a \(x=1\) (seul) ou \(x=0.5+0.5\) et de même pour \(y\).
Donc les seules possibilités sont de la forme AFF ou DCC : \((5 \times 4 \times 4+4 \times 4 \times 4) \times 3=432\) mots.
4. On peut obtenir \((0,-0.5)\) avec un mot de 2 lettres : exemple EF .
On ne peut pas obtenir \((0,-0.5)\) avec un mot de 3 lettres car il faut au minimum 2 lettres pour \(y=-0.5\). On peut obtenir \((0,-0.5)\) avec un mot de 4 lettres .Il suffit d'ajouter AB au mot de 2 lettres : ABEF .
On peut obtenir \((0,-0.5)\) avec un mot de 5 lettres : exemple CCBEF.
Pour obtenir un mot de 6 lettres on ajoute AB à celui de 4 lettres.
Pour obtenir un mot de 7 lettres on ajoute AB à celui de 5 lettres et ainsi de suite.
5. a) Pour un mot de 10 lettres, la plus grande valeur possible de \(x+y\) est 10 (elle augmente au maximum de 1 à chaque étape) donc il est impossible d'arriver au point de coordonnées \((5,6)(5+6=11)\).
b) Pour \(x=-3.5\), il faut utiliser au minimum 5 lettres (exemple : BBBBC ) donc \(y\) varie entre -5 et 5 .
Les valeurs possible de \(y\) sont \(-5,-3.5,-3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5\).
c) Il faut que \(-10 \leqslant x+y \leqslant 10\) et que \(-10 \leqslant x-y \leqslant 10\).
Donc les points associés à un mot de 10 lettres doivent se trouver à l'intérieur du carré dont les sommets ont pour coordonnées \((10,0) ;(0,10) ;(-10,0)\) et \((0,-10)\).