Olympiades · Académie Bordeaux · 2016 · Séries autres que S
NumérationDénombrement
On désigne par \(\mathscr{E}\) l'ensemble des nombres entiers qui s'écrivent avec quatre chiffres, chacun de ces chiffres étant différent de 0 .
On rappelle que l'entier écrit \(\overline{a b c d}\) dans le système décimal est égal à \(1000 a+100 b+10 c+d\) où \(a, b, c, d\) désignent respectivement le chiffre des milliers, des centaines, des dizaines et des unités.
Si \(n\) est un élément de \(\mathscr{E}\), on appelle cousin de \(n\) tout nombre de \(\mathscr{E}\), distinct de \(N\), écrit avec les même quatre chiffres que lui. Par exemple 4363 et 6343 sont cousins. Un nombre \(N\) et l'ensemble de ses cousins de 2537 constituent une famille de \(N\).
2. Quel est le nombre de cousins de 2537 ? de 2532 ?
\(N\) étant un élément de \(\mathscr{E}\), on appelle \(\operatorname{Max}(N)\) le plus grand élément de sa famille et \(\operatorname{Min}(N)\) le plus petit.
3. Combien y a-t-il d'entiers \(N\) de \(\mathscr{E}\) tels que \(\operatorname{Max}(N)=\operatorname{Min}(N)\) ?
Si \(N\) est un élément de \(\mathscr{E}\), on définit ses mensurations, à savoir sa taille notée \(T(N)\) égale à la somme de ses chiffres et son poids noté \(P(N)\) égal au produit de ses chiffres.
4. Quel est le plus petit entier \(N_{0}\) de \(\mathscr{E}\) dont le poids dépasse 1000 ?
5. Quelles sont les mensurations de 2449 ? Déterminer un entier \(N_{1}\) de \(\mathscr{E}\) qui n'est pas dans la famille de 2449 et a les même mensurations.
6. Trouver un entier \(N_{2}\) de \(\mathscr{E}\) tel que \(\operatorname{Min}\left(N_{2}\right)\) est divisible par 5, \(\operatorname{Max}\left(N_{2}\right)\) est pair, \(T\left(N_{2}\right)=13\) et \(P\left(N_{2}\right)\) est divisible par 3.
7. On s'intéresse aux entiers \(N\) de \(\mathscr{E}\) tels que \(\operatorname{Min}(N)+\operatorname{Max}(N)=11330\).
On désigne par \(a, b, c, d\) les chiffres de \(\operatorname{Min}(N)\) tels que \(\operatorname{Min}(N)=\overline{a b c d}\) avec \(a \leqslant b \leqslant c \leqslant d\).
a) \(\operatorname{Montrer}\) que \(\operatorname{Min}(N)+\operatorname{Max}(N)=11[91(a+d)+10(b+c)]\).
b) Quelle est la valeur de \(a+d\) ?
c) Déterminer la taille de \(N\).
d) Combien d'entiers \(N\) de \(\mathscr{E}\) sont solutions de l'équation \(\operatorname{Min}(N)+\operatorname{Max}(N)=11330\) ?
On peut prendre \(N_{1}=2386\) ou l'un de ses cousins.
6. On peut prendre \(N_{2}=2335\) ou l'un de ses cousins.
7. a) \(\operatorname{Min}(N)=\overline{a b c d}=1000 a+100 b+10 c+d\)
et \(\operatorname{Max}(N)=\overline{d c b a}=1000 d+100 c+10 b+a\)
donc \(\operatorname{Min}(N)+\operatorname{Max}(N)=1001 a+110 b+110+1001 d\)
soit \(\operatorname{Min}(N)+\operatorname{Max}(N)=11(91(a+d)+10(b+c))\).
b) L'équation s'écrit \(11(91(a+d)+10(b+c))=11330\).
Elle est équivalente à \(91(a+d)+10(b+c)=1030\).
On en déduit que ( \(a+d\) ) est divisible par 10 donc égal à 10 (car \(a+d \leqslant 18\) ).
c) \(a+d=10\) donne \(10(b+c)=120\) soit \(b+c=12\) donc \(T(N)=22\).
d) y a 148 solutions.
\(\operatorname{Min}(N)\) est l'un des nombres suivants : 1399, 1489, 2488, 1579, 2578, 3577, 1669, 2668, 3667, 4666.
Les solutions sont les éléments des familles de ces 10 nombres.
Les familles de 1579, 1489 et 2578 ont chacune 24 éléments.
Les familles de 1399, 2488, 3577, 1669, 2668 et 3667 ont chacune 12 éléments.
La famille de 4666 a 4 éléments : 4666, 6466, 6646, 6664.
Finalement, il y a \(3 \times 24+6 \times 12+4=148\) solutions.