Sujet
Présentation :
Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport entre deux longueurs \(a\) et \(b\) telles que le quotient de la somme des deux longueurs \(a+b\) par la plus grande \(a\) soit \({ }^{\text {⋅ }}\) égal à celui de la plus grande \(a\) par la plus petite \(b\),
c'est-à-dire l'unique rapport entre deux longueurs \(a\) et \(b\) tel que
\[ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} . \]
Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelée par Euclide découpage en «extrême et moyenne raison». Le nombre d'or \(\frac{b}{a}\) est maintenant souvent désigné par la lettre \(\Phi\) (phi) en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.
? Partie A - Généralités sur le nombre d ?or
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres tels que : \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\).- On pose \(\Phi=\frac{a}{b}\).
a) Montrer que \(\Phi\) est solution de l'équation \(x^{2}-x-1=0\).
b) Justifier que \(\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Donner une valeur approchée de \(\Phi\) à \(10^{-5}\) près. - a) Montrer que \(\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\).
b) En déduire que
\[ \Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}} \text { et } \Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}}} . \]
- On considère la suite de fractions suivantes :
\[ F_{0}=1 ; F_{1}=1+\frac{1}{1} ; F_{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}} ; F_{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} ; \ldots \]
a) Écrire les fractions \(F_{4}\) et \(F_{5}\) et les simplifier.
b) Soit \(n\) un entier naturel. Écrire un algorithme permettant de calculer \(F_{n}\).
c) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-9}\) de \(F_{20}\).
d) Que peut-on conjecturer sur les nombres \(F_{n}\) lorsque \(n\) devient grand ?
Partie B - Nombre de pavages par des dominos et nombre d'or
On considère un quadrillage \(n \times 2\) dont la longueur comporte \(n\) carreaux et la hauteur 2 carreaux. On s'intéresse au nombre \(K(n)\) de manières différentes de paver complètement ce quadrillage par des dominos constitués de deux carreaux ayant un côté commun.Les dominos recouvrent deux cases du quadrillage ayant un côté commun.
On pose \(K(0)=1\) car il existe une seule manière de ne mettre aucun domino dans un quadrillage \(0 \times 2\).
- a) Justifier que \(K(1)=1\) et \(K(2)=2\).
b) Déterminer \(K(3)\).
c) Justifier que, pour tout nombre entier \(n\) supérieur ou égal à \(1, K(n+1)=K(n)+K(n-\) 1). - a) Soit \(r\) un nombre réel non nul.
Montrer que le nombre \(r\) vérifie la relation \(r^{n+1}=r^{n}+r^{n-1}\) pour tout entier naturel \(n\) si, et seulement si \(r=\Phi\) ou \(r=\Phi-1\).
b) Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels.
Montrer que les nombres de la forme \(u_{\alpha} \Phi^{n}+\beta(1-\Phi)^{n}\) vérifient, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'égalité \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}\).
Dans la suite de l'exercice, on admet que les nombres de la forme \(u_{\alpha} \Phi^{n}+\beta(1-\Phi)^{n}\) sont les seuls vérifiant, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la relation \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}\).
c) Déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(u_{0}=u_{1}=1\).
d) En déduire une expression de \(K(2016)\). (On pourra donner une expression de \(K(2016)\) en fonction de \(\boldsymbol{\Phi}\) )
Partie C - Construction géométrique du nombre d'or
Un segment de longueur \(a\) est dessiné en annexe (à rendre avec la copie).On souhaite tracer un segment de longueur \(b\) tel que \(\frac{a}{b}=\Phi\).
On dispose pour cela d'une équerre et d'une règle non graduées, d'un compas, et de l'escargot dePythagore cidessous.
Construire, sur l'annexe, un segment de longueur \(b\) en expliquant clairement la démarche.
Partie A : Généralités sur le nombre d'or
- a) \(\left(\frac{a}{b}\right)^{2}-\frac{a}{b}-1=\frac{a^{2}}{b^{2}}-\frac{a+b}{b}\).
Mais on sait que \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\), ce qui équivaut à \(a+b=\frac{a^{2}}{b}\).
Donc \(\frac{a^{2}}{b^{2}}-\frac{a+b}{b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}-\frac{a^{2}}{b^{2}} .\).
\(\Phi\) est bien solution de l'équation \(x^{2}-x-1=0\).
b) On résout l'équation \(x^{2}-x-1=0\).
\(\Delta=(-1)^{2}-4 \times(-1)=5\).
L'équation a donc deux solutions distinctes :
\[ \begin{gathered} x_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \quad \text { et } \quad x_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} . \\ \Phi>0 \operatorname{donc} \Phi=x_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,61803 . \end{gathered} \]
- a) \(\Phi^{2}-\Phi=0 \Leftrightarrow \Phi^{2}=\Phi+1 \Leftrightarrow \Phi=1+\frac{1}{\Phi}\).
b) \(\Phi=1+\frac{1}{\Phi}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}}}\) en remplaçant chaque fois \(\Phi\) par \(1+\frac{1}{\Phi}\). - a) \(F_{4}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}=\frac{8}{5}\) et \(F_{5}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}=1+\frac{1}{F_{4}}=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}\).
c) \(u_{n}=\alpha \Phi^{n}+\beta(1-\Phi)^{n}\)
\(u_{0}=\alpha+\beta\) et \(u_{1}=\alpha \Phi+\beta(1-\Phi)\).
Par résolution du système \(\left\{\begin{array}{l}\alpha+\beta=1 \\ \alpha \Phi+\beta(1-\Phi)\end{array}\right.\), on obtient \(\alpha=\frac{\Phi}{2 \Phi-1}\) et \(\beta=\frac{\Phi-1}{2 \Phi-1}\).
d) Pour tout entier naturel \(n, K(n+1)=K(n)+K(n-1)\) et on a \(K(0)=1\) et \(K(1)=1\).
D'après ce qui précède, on a pour tout \(n\),
\[ K(n)=\frac{\Phi}{2 \Phi-1} \Phi^{n}+\frac{\Phi-1}{2 \Phi-1}(1-\Phi)^{n}=\frac{\Phi^{n+1}}{2 \Phi-1}-\frac{(1-\Phi)^{n+1}}{2 \Phi-1} . \]
et on a donc \(k(2016)=\frac{\Phi^{2017}}{2 \Phi-1}-\frac{(1-\Phi)^{2017}}{2 \Phi-1}\).
Partie C - Construction géométrique du nombre d'or
On trace une demi-droite d' origine A .On place les points I et C sur cette demi-droite tels que \(A I=2\) et \(A C=1+\sqrt{5}\) (notons que le segment [DR] de l'escargot de Pythagore a une longueur de \(\sqrt{5}\) ).
Ensuite on trace \([\mathrm{BC}]\) puis la droite parallèle à \([\mathrm{BC}]\) passant par I : celle-ci coupe [ AB ] en J et d'après le théorème de Thalès, on a
\[ \frac{A B}{A J}=\frac{A C}{A I}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi . \]
Compléments et commentaires de Max Hochart
a) La littérature sur la suite de Fibonacci est très riche. À la question 2b, on admet le résultat suivant : toute suite vérifiant la relation\[ u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n} \]
est de la forme
\[ n \mapsto \alpha \Phi^{n}+\beta(\Phi-1)^{n} . \]
Ce point n'est pas compliqué à démontrer : deux suites \(u\) et \(v\) vérifiant cette relation sont égales si et seulement si \(u_{0}=v_{0}\) et \(u_{1}=v_{1}\). Or, la suite \(\left(v_{n}=\alpha \Phi^{n}+\beta(\Phi-1)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) vérifie cette relation et étant donnés \(u_{0}\) et \(u_{1}\), on peut toujours trouver \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(v_{0}=u_{0}\) et \(v_{1}=u_{1}\).
b) Une autre illustration de la suite de Fibonacci est la suivante : lors d'une soirée, \(n\) personnes sont assises les uns à côté des autres, sur un banc. Il y a donc \(n\) places, que l'on peut numéroter de 1 à \(n\). Les personnes se lèvent (pour aller danser) puis se rassoient, en s'asseyant à la même place occupée précédemment ou juste à côté. Il faut alors compter le nombre de configurations possibles.
En termes mathématiques, il s'agit de compter le nombre de bijections \(\sigma\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) dans lui-même telles que
\[ \max _{1 \leqslant i \leqslant n}|\sigma(i)-i| \leqslant 1 . \]
La réponse est \(K_{n}\), avec les notations de l'énoncé.