Sujet
En moyenne, nous passons 6 mois de notre vie assis devant un feu rouge !
Certains designers ont imaginé des feux tricolores qui comprennent un chronomètre afin d'informer les automobilistes du temps d'attente restant avant le feu vert. Cette invention ne change pas le temps perdu au feu mais permet d'anticiper le passage du feu vert au feu rouge.
On considère un feu de signalisation qui clignote pendant 2 mi nutes (les voitures passent) puis passe au rouge pendant \(1,5 \mathrm{mi}\) nutes (les voitures s'arrêtent et sont en attente).
- Une voiture arrive à un instant \(t\).
a) Expliquer pourquoi \(t\) peut être assimilé au tirage d'un réel aléatoire de l'intervalle \([0 ; 3,5]\).
b) Quelle est la probabilité que la voiture arrive au feu alors qu'il est rouge ?
c) Quelle est la probabilité que le temps d'attente au feu soit nul ?
d) Déterminer la probabilité que le temps d'attente au feu soit supérieur à 1 minute.
e) Déterminer la probabilité que le temps d'attente au feu soit inférieur à \(x\) minutes où \(x\) est un réel appartenant à l'intervalle [ \(0 ; 1,5\) ]
f) Un automobiliste patiente depuis 50 secondes au feu rouge. Quelle est la probabilité que son temps d'attente total soit inférieur à une minute? - L'algorithme ci-dessous permet de simuler l'arrivée d'une voiture au feu et d'afficher le temps d'attente.
Variables : t et a sont des nombres réels
Traitement : t prend une valeur aléatoire entre 0 et 3,5
Si }t\leqslant2\mathrm{ alors
a prend la valeur 0
Afficher « le temps d'attente est nul >
Sinon
a prend la valeur 3,5-t
Sortie : Afficher « Le temps d'attente est de »
Afficher a
Afficher « minutes. >
Modifier l'algorithme pour qu'il donne le temps d'attente moyen au feu, que l'on pourra estimer à partir de 1000 véhicules.
3. Le schéma ci-dessous représente le plan d'une ville. Les segments matérialisent les principales avenues et les feux à l'intersection de ces avenues sont désignés par les points \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}\) et G .
- a) Dans un laps de temps de 3 min et 30 s , le feu tricolore aura fait un cycle complet : 1,5 minute au rouge et 2 minutes au vert.
Le fonctionnement du tricolore est périodique de période \(3,5 \mathrm{~min}\) donc l'arrivée d'une voiture à un instant \(t\) au feu peut être assimilé à un tirage d'un nombre réel aléatoire dans l'intervalle [ \(0 ; 3,5\) ].
b) Sur un intervalle de temps \([0 ; 3,5]\), il y a 1,5 minutes pour lesquelles le feu est au rouge donc \(P= \frac{1,5}{3,5}=\frac{3}{7}\).
c) Pour que la probabilité que le temps d'attente au feu soit nul, il faut que le feu soit au vert lorsque l'automobiliste arrive donc \(P=\frac{2}{3,5}=\frac{4}{7}\) ou \(P=1-\frac{3}{7}\).
d) Pour que la probabilité que le temps d ?attente au feu soit supérieur à 1 minute, il faut que le feu soit au rouge depuis moins de 30 s lorsque l'automobiliste arrive, donc \(P=\frac{0,5}{3,5}=\frac{1}{7}\).
e) Pour que la probabilité que le temps d'attente au feu soit inférieur à \(x\) minutes, il faut qu'il reste au maximum \(x\) minutes de temps d'attente au rouge lorsque l'automobiliste arrive ou que le feu soit au vert, donc \(P=\frac{x-2}{3,5}\).
f) L'automobiliste attend moins d'une minute si le feu passe au vert dans les 10 secondes qui suivent parmi les 40 secondes où le feu va encore être au rouge donc \(P=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0,25\).
Variables : t, S et a sont des nombres réels
Traitement : S=0
Pour k variant de 1 à 1000
t prend une valeur aléatoire entre 0 et 3,5
Si }t\leqslant2 alor
a prend la valeur 0
Sinon
a prend la valeur 3,5-t
S prend la valeur S+a
Sortie : Afficher « Le temps d'attente est de »
Afficher S/1000
Afficher « minutes. »
- a) Oui : FABCAEDCEFGD par exemple.
b) 11 chemins différents : FGD FED FECD FEACD FEABCD FAED FAECD FACD FACED FABCD FABCED
c) FACED : 10 minutes.