Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2015 Versailles

Sujet

Pour tout entier naturel \(n\) écrit dans le système décimal, on effectue le produit de \(n\) par la somme de ses chiffres, qu'on note \(R(n)\). Par exemple, \(R(2015)=2015 \times(2+0+1+5)=16120\).

Résoudre chacune des équations suivantes :
а) \(R(n)=n\);
b) \(R(n)=2 n\);
c) \(R(n)=36\).
Existe-t-il un entier \(n\) tel que \(R(n)=2015\) ?
On s'intéresse à présent aux nombres \(n\) dont l'image par \(R\) est comprise entre 2000 et 2100 .
a) Y a-t-il des nombres \(n\) s'écrivant avec 4 chiffres et tels que \(R(n)\) soit compris entre 2000 et 2100 ?
b) Y a-t-il des nombres \(n\) s'écrivant avec 2 chiffres et tels que \(R(n)\) soit compris entre 2000 et 2100 ?
c) Caro dit que, parmi les nombres dont l'image par \(R\) est comprise entre 2000 et 2100 , il y en a autant entre 100 et 200 qu'entre 200 et 300 . Bela pense le contraire. Sans les départager, Ali proclame « de toutes façons, il n'y en a aucun entre 300 et 400 ». Qui a raison?

Pour tout entier \(n\), appelons \(S(n)\) la somme des chiffres de \(n\).
a) La première équation s'écrit \(n \cdot S(n)=n\). Une solution est \(n=0\), les autres solutions sont les nombres dont la somme des chiffres est 1 . Ce sont les puissances de 10 .
b) La seconde équation s'écrit \(n \cdot S(n)=2 n\). Une solution est \(n=0\), les autres solutions sont les nombres dont la somme des chiffres est 2 . Ce sont donc les sommes de deux puissances de 10 (éventuellement égales).
c) La troisième équation s'écrit \(n \cdot S(n)=36\). Les décompositions de 36 en produit de nombres entiers positifs sont : \(1 \times 36,2 \times 18,3 \times 12,4 \times 9,6 \times 6\) (chacun des deux, \(n\) comme \(S(n)\) pouvant a priori jouer les deux rôles). Les nombres s'écrivant avec un seul chiffres sont égaux à la somme de leurs chiffres. Cela fournit la première solution \(n=6\). Pour les autres, il faut chercher parmi les nombres à deux chiffres dont la somme n'en a qu'un. Cela fournit la deuxième solution, \(n=12\).
Equation \(n \cdot S(n)=2015\).

Les produits de deux nombres égaux à 2015 sont : \(1 \times 2015,5 \times 403,13 \times 155,31 \times 65\). Dans ces produits, aucun des nombres n'est la somme des chiffres de l'autre. Il n'y a pas de solution.
3. a) Un nombre de quatre chiffres est supérieur à 1000 . Pour que son produit par un entier soit compris entre 2000 et 2100 , il faut que cet entier soit 2 . Les nombres supérieurs à 1000 dont la somme des chiffres est 2 sont 1001 , 1010 et 1100 . Seuls les deux premiers conviennent.