Olympiades · Académie Versailles · 2015 · Série S
On considère les fonctions \(P_{1}, P_{2}\) et \(P_{3}\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ P_{1}(x)=x^{2}-1, \quad P_{2}(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}-1, \quad P_{3}(x)=\left(\left(x^{2}-1\right)^{2}-1\right)^{2}-1 . \]
On a donc, pour tout réel \(x\),
\[ P_{2}(x)=P_{1}^{2}(x)-1 \text { et } P_{3}(x)=P_{2}^{2}(x)-1 . \]
\[ P_{1}(x)=0, P_{2}(x)=0 \text { et } P_{3}(x)=0 . \]
\[ P_{1}(x)=1, P_{2}(x)=1 \text { et } P_{3}(x)=1 . \]
Déterminer :
L'équation \(P_{2}(x)=0\) s'écrit \(\left(x^{2}-1-1\right)\left(x^{2}-1+1\right)=0\). L'ensemble des solutions de cette équation est donc \(S_{2}=(\sqrt{2},-\sqrt{2}, 0)\).
L'équation \(P_{3}(x)=0\) s'écrit \(\left(\left(x^{2}-1\right)^{2}-1-1\right)\left(\left(x^{2}-1\right)^{2}-1+1\right)=0\), ou encore \(\left(x^{2}-1-\sqrt{2}\right)\left(x^{2}-\right. 1+\sqrt{2})\left(x^{2}-1\right)^{2}=0\).
L'ensemble des solutions de cette équation est donc \(S_{3}=\{\sqrt{1+\sqrt{2}},-\sqrt{1+\sqrt{2}}, 1,-1\}\).
2. L'équation \(P_{1}(x)=1\) a pour ensemble de solutions \(\Sigma_{1}=\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}\).
L'équation \(P_{2}(x)=1\) s'écrit \(\left(x^{2}-1-\sqrt{2}\right)\left(x^{2}-1+\sqrt{2}\right)=0\). Son ensemble de solutions est \(\Sigma_{2}=\{\sqrt{1+\sqrt{2}},-\sqrt{1+\sqrt{2}}\}\).
L'équation \(P_{3}=1\) s'écrit \(\left.\left(x^{2}-1\right)^{2}-1-\sqrt{2}\right)\left(\left(x^{2}-1\right)^{2}-1+\sqrt{2}\right)=0\). Ses solutions sont celles de \(\left(x^{2}-1-\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(x^{2}-1+\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)=0\).
Son ensemble de solutions est donc \(\Sigma_{3}=\{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}},-\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}}\}\).
3. L'équation \(P_{2015}(x)=0\) s'écrit aussi \(P_{2014}^{2}(x)-1=0\), ou encore \(\left(P_{2014}(x)-1\right)\left(P_{2014}(x)+1\right)=0\). D'où on déduit que les solutions de se partagent en deux catégories :