Sujet
On voudrait recouvrir la surface d'un carré de côté 10 cm avec des disques identiques, de rayon 5 cm . Sur la figure ci-contre, une tentative est esquissée, avec les deux premiers disques.
Dans la suite, on propose d'étudier une première tentative avant de se prononcer sur l'existence d'une solution au problème.
Soit ABCD un carré de côté 10 cm .
- Soit M le point de la diagonale \([\mathrm{AC}]\) situé à 10 cm de A , et soit \(C_{1}\) le cercle de diamètre [AM]. Le cercle \(C_{1}\) recoupe le côté [AD] en P et le côté [AB] en Q .
[0pt] Soit T le point du côté [CD] situé à 10 cm du point P , et soit \(C_{2}\) le cercle de diamètre [TP]. Soit U le point du côté \([\mathrm{BC}]\) situé à 10 cm du point Q , et soit \(C_{3}\) le cercle de diamètre [UQ].
a) Calculer \(D T\).
b) On appelle X le point d'intersection de la parallèle à ( CD ) passant par U et de la parallèle à \((\mathrm{BC})\) passant par T . Prouver que les points M et X sont à l'intérieur de \(C_{2}\).
c) On dit qu'un cercle recouvre un point lorsque ce point est sur le cercle ou à l'intérieur du cercle. Prouver qu'à eux trois, les cercles \(C_{1}, C_{2}\) et \(C_{3}\) recouvrent plus de \(99,75 \%\) de la surface du carré ABCD . - Prouver qu'il est impossible de recouvrir toute la surface du carré ABCD avec trois disques \(\Gamma_{1}, \Gamma_{2}\) et \(\Gamma_{3}\), chacun de rayon 5 cm .
- a) Analyson un peu la configuration. Comme \(C_{1}\) est de diamètre [AM], les triangles APM et AQM sont rectangles respectivement en P et en Q . Ces deux points sont donc les projetés orthogonaux respectifs de M sur [AD] et [AC]. De plus, comme M est sur la diagonale du carré ABCD de côté 10 cm , c'est que AQMP est un carré, de diagonale 10 cm et donc de côté \(5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\).
On a \(P D=A D-A P=10-5 \sqrt{2}=5(2-\sqrt{2})\) et \(P T=10\) donc, d'après le théorème de Pythagore dans PDT rectangle en D, il vient
\[ D T^{2}=P T^{2}-P D^{2}=25(4 \sqrt{2}-2), \]
et donc \(D T=5 \sqrt{4 \sqrt{2}-2}\).
