Exercice 3

Sujet

Deux protagonistes, l'écrivain et le lecteur, vont créer une suite. L'écrivain commence par noter « 1 » sur une tablette. Il la montre au lecteur qui lit les caractères qui apparaissent : « 1 ». L'écrivain note alors ce qu'il entend sous la forme « 1.1 », et l'opération reprend : le lecteur voit deux fois le chiffre 1 d'affilée; il annonce donc « deux 1 » et l'écrivain note « 2.1 ». Voici la suite des premiers échanges :

1. a) Donner les deux messages écrits qui suivent : M6 et M7.
   b) Après un certain nombre d'échanges, l'écrivain a écrit un message qui commence par : 1.3.2.1.1.3.1.1. Par quels chiffres commençait le message prćédent?
   Les questions 2) et 3) sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre que l'on voudra.
2. a) Expliquer pourquoi le message écrit se terminera toujours par 1.
   b) Expliquer pourquoi, à l'exception du message M1, le message écrit se terminera alternativement par 1.1 ou par 2.1.
3. Peut-on voir apparaître « trois 3 » dans le message lu ?
4. L'écrivain dit « à partir du message M6, j'utiliserai toujours les chiffres 1,2 et 3 , mais jamais le chiffre \(4 \gg\).
   Que peut-on en penser?
   N.B. : cette suite a été inventée en 1986 par le mathématicien John Horton Conway, initialement désignée «suite audioactive» ; elle est également connue sous le nom anglais de Look and Say («regarder et dire»).