Exercice 4 — Un étrange partage — Olympiades 2015 Rouen

Sujet

Un gagnant du Loto, qui vient de remporter \(1071225 €\), décide de faire don de cette fortune. Son goût du jeu le pousse à imaginer un partage original de ses gains.
Il souhaite répartir la somme totale en créant des tas composés de pièces de \(1 €\).
Le nombre de pièces se prêtant à cette répartition, le gagnant procède de la manière suivante :

le premier tas se réduit à une pièce;
le second en compte 3;
le troisième en contient 5;
le quatrième, 7 ;
et ainsi de suite (nombres impairs).

Il choisit alors de distribuer sa fortune de la façon suivante :

le premier tas est donné à une personne;
les deux tas suivants à une deuxième personne;
les trois tas suivants à une troisième personne;
et ainsi de suite ...(nombres entiers positifs).

On s'intéresse, dans cette question, à la somme \(\boldsymbol{S}\) des nombres entiers impairs.

On considère l'algorithme suivant :

Variables
\(A, p\) entiers positifs
Début
    Saisir le nombre \(A\)
    Affecter à \(S\) la valeur 1
    Affecter à \(p\) la valeur 1
    Tant que \(S<A\), faire
        Affecter à \(S\) la valeur \(S+(2 p+1)\)
        Affecter à \(p\) la valeur \(p+1\)
    Fin Tant que
    Afficher \(p\)
Fin

a) Exécuter cet algorithme lorsque \(A\) vaut 16 . Qu'affiche-t-il en sortie? Interpréter ce résultat.
b) Lorsque \(A\) vaut 1071225 , l'algorithme affiche 1035 . Quelle information ce résultat fournit-il au gagnant?
2. On rappelle que la somme des \(n\) premiers entiers positifs est donnée par la formule \(\frac{n(n+1)}{2}\). À l'aide de la question 1.b, déterminer le nombre \(n\) de personnes à qui le gagnant pourra distribuer ses gains.
3. Déterminer le montant en euros reçu par chacune des quatre premières personnes.
4. On choisit au hasard une des \(n\) personnes.

Quelle est la probabilité que cette personne ait reçu au moins \(1000 €\) ?

a) L'algorithme affiche 4 en sortie.
\(t\) est le plus petit entier tel que la somme des \(t\) premiers entiers impairs atteint ou dépasse \(A\). En l'occurrence, 16 est exactement égal à la somme des quatre premiers entiers impairs.
b) Lorsque \(A\) vaut 1071225 , l'algorithme affiche 1035 .

Cela signifie qu'il faut ajouter les 1035 premiers entiers impairs pour atteindre ou dépasser pour la première fois 1071225 .
L'énoncé indique que le nombre de pièces se prête à la répartition imaginée par le gagnant.
Cela signifie que \(A=1071225\) a la particularité de se décomposer exactement en la somme des 1035 premiers entiers impairs, c'est-à-dire ici que les \(1071225 €\) se partagent exactement en 1035 tas de pièces constitués selon le principe prévu par le gagnant.
2. Le nombre de tas de pièces est de 1035 .
\(n\) est le nombre de personnes à qui le gagnant pourra distribuer ses gains.
D'après la répartition prévue, on a donc : \(1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}=1035\).
On résout \(n^{2}+n-2070=0 . D=8281>0\).
La seule solution positive est \(n=45\).
Le gagnant pourra donc distribuer ses gains à 45 personnes.
3. La première personne reçoit \(1 €\), la deuxième \(8 €\), la troisième \(27 €\) et la quatrième \(64 €\).

Remarque : \(1=1^{3} ; 3+5=8=2^{3} ; 7+9+11=3^{3} ; 13+15+17+19=4^{3}\).
Plus généralement, \(k^{3}\) est la somme des \(k\) entiers impairs consécutifs compris entre \(k^{2}-k+1\) et \(k^{2}+k-1\).
4. En généralisant ce qui précède (ou en poursuivant tous les calculs...), la dixième personne reçoit \(10^{3} €\), c'està-dire \(1000 €\).
On choisit au hasard l'une des 45 personnes. La probabilité cherchée est donc de \(\frac{36}{45}=0,8\).