Sujet
On considère, dans un repère du plan, la parabole \(P\) représentant la fonction qui, à tout nombre réel \(x\) associe le nombre \(x^{2}\), (fonction « carré »).
On s'intéresse alors à l'algorithme suivant :
- Étape 1 : Choisir deux nombres réels \(a\) et \(b\) strictement positifs.
- Étape 2 : Marquer sur la parabole le point A d'abscisse - a.
- Étape 3 : Marquer sur la parabole le point B d'abscisse \(b\).
- Étape 4 : Tracer le segment [AB].
- Étape 5 : Afficher l'ordonnée du point d'intersection du segment [AB] avec l'axe des ordonnées.
- On se place dans le cas où \(a=2\) et \(b=3\).
Démontrer qu'en appliquant l'algorithme, on obtient, à la cinquième étape, le nombre 6 .
2. On a tracé, dans le repère ci-contre, la courbe \(P\) de la fonction «carré ».
On a ensuite appliqué l'algorithme précédent à tous les couples \((a ; b)\) d'entiers strictement supérieurs à 1 .
La mise en œuvre de l'algorithme s'est traduite par le graphique ci-contre.
On s'intéresse aux points M de l'axe des ordonnées dont l'ordonnée est un entier strictement supérieur à 1 .
Démontrer que M est un point par lequel ne passe aucun des segments tracés si et seulement si son ordonnée est un nombre premier.
- Le coefficient directeur de la droite ( \(A B\) ) est \(1,(A B)\) a donc pour équation affine :
\[ y=1\left(x-x_{\mathrm{A}}\right)+y_{\mathrm{A}} \]
c'est-à-dire \(y=(x-2)+4\).
D'où, \((A B): y=x+6\); ( AB ) coupe donc l'axe des ordonnées en 6 .