Sujet
Dans ce problème, on souhaite partager différents triangles en deux puis trois domaines de même aire.
Partie A - Partageons en deux
\(1^{\text {er
}\) cas - Triangle rectangle} Soit ABC un triangle rectangle en B tel que : \(A B=4\) et \(B C=6\). M est un point quelconque du segment [BC].E désigne le point d'intersection de la parallèle à la droite ( AB ) passant par M. On note \(x\) la longueur \(B M\).
Démontrer qu'il existe une position du point M telle que la droite (EM) partage le triangle ABC en deux polygones de même aire. Donner la valeur de \(x\) correspondante.
\(\mathbf{2
^{\text {ème }}\) cas - Triangle quelconque} Soit ABC un triangle quelconque et I le milieu de [BC].- Proposer, en justifiant, un premier partage simple du triangle en deux triangles de même aire.
On souhaite maintenant déterminer un second partage possible.
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2. Soit N un point quelconque sur le segment [BI].
On note E le point d'intersection du segment [AC] avec la parallèle à (AN) passant par I.
a) Faire une figure.
b) Démontrer que la droite (EN) partage le triangle ABC en deux domaines de même aire. Pour cela, on pourra, par exemple, commencer par comparer les aires des triangles NIE et AIE.
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3. Proposer, de même, une méthode de construction dans le cas où le point N appartient au segment [IC].
Partie B - Partageons en trois triangles de même aire
Soit ABC un triangle quelconque.Proposer, en justifiant, deux partages de nature différente du triangle ABC en trois triangles de même aire.