Exercice 2

Sujet

Quelque part en Armorique, la Breizh' Star 2015 se prépare !. . .
La scène de la «Breizh' Star 2015 », qui accueille les futures étoiles de la chanson, est assimilée à un disque de centre O de rayon égal à 1 .
Les candidats au titre de «Breizh' Star 2015 » ont leur propres exigences sur l'éclairage de cette scène, ce qui oblige les techniciens de la lumière à réfléchir à la disposition des projecteurs.
[0pt] Sur le dessin ci-contre, à titre d'exemple, un projecteur est placé en P sur le bord du disque et éclaire une partie de la scène; la partie éclairée est délimitée par les segments [PM] et [PN] et par le petit arc de cercle compris entre M et N. La zone restant dans l'ombre a été hachurée par des segments horizontaux. L'angle en P, exprimé en degrés, du triangle MPN est noté \(x\) (sur cet exemple \(x=45^{\circ}\) ).
De façon générale le pourcentage de la partie de la scène éclairée dépend de la valeur de \(x\) et de la position de P , sur le bord, à l'intérieur ou à l'extérieur du disque.

Quelques indications utiles pour les projectionnistes :

• L'aire d'un secteur circulaire d'angle \(\alpha\) (en degrés) et de rayon \(R\) est donnée par la formule \(\frac{\pi}{360} R^{2} \alpha\).
• Quand une droite \(D\) coupe un cercle de centre O en un seul point noté A , on dit que la droite est tangente au cercle et les droites \(D\) et ( \(O A\) ) sont perpendiculaires.
• Convention : pour chaque représentation, la partie non éclairée de la scène est à hachurer.

1. Situations où l'angle \(x\) mesure \(\mathbf{9 0

\) degrés} Représenter une situation simple pour laquelle l'angle \(x\) mesure \(90^{\circ}\), et qui convienne à chacun des candidats ci-dessous :
a) Candidat A: le projecteur doit éclairer \(25 \%\) exactement de la surface de la scène.
b) Candidat B: le projecteur doit éclairer \(50 \%\) exactement de la surface de la scène.
c) Candidat \(\mathbf{C}\) : deux projecteurs éclairent \(75 \%\) exactement de la surface de la scène.
d) Candidat \(\mathbf{D}\) : le projecteur est placé sur le bord du disque tel que \(P M=P N\), et l'angle \(x\) mesure \(90^{\circ}\).
Calculer alors le pourcentage de la partie de la scène éclairée : on donnera d'abord la valeur exacte puis la valeur approchée à \(0,01 \%\) près.