Sujet
Selon un vieil adage byzantin : «Faste sera l'année dont un multiple est la répétition d'un même chiffre. » Dit en langage mathématique cela donne : On dit que l'année A est faste lorsqu'il existe un entier naturel \(N\) tel que \(N \times A=\overline{a a a \ldots a}\) où \(a\) est un chiffre non nul. (la notation \(\overline{a a a \ldots a}\) est une écriture mathématique désignant un nombre dont tous les chiffres sont \(a\) ) L'année 1221, par exemple, est une année faste parce que \(637 \times 1221=777777\).
Partie 1 : Quelques années fastes...ou pas !
- Montrer que les années 999 et 1001 sont fastes.
- Prouver qu'une année faste ne peut pas être un multiple de 10 .
- Une année faste peut-elle être un multiple de 25 ?
- En considérant la divisibilité par 16, prouver qu'une année multiple de 16 ne peut pas être faste.
Partie 2: «Fastitude» de l'année 1998
L'année 1998 est une année remarquable puisque c'est l'année de naissance de la majorité des candidats aux Olympiades 2015 de Mathématiques, mais est-elle faste pour autant?
Si 1998 est effectivement une année faste, explorons des conséquences. Dans ce cas il existe un entier naturel \(N\) tel que \(N \times 1998=a \times 111 \ldots 1\) où \(a\) est un chiffre non nul.
- Montrer que \(a\) est pair.
- Soit l'entier \(b\) tel que \(a=2 b\).
a) Montrer que \(111 \times(9 \times N)=b \times 111 \ldots 1\).
b) Donner les quatre plus petits entiers dont le produit avec 111 s'écrit uniquement avec des 1 .
c) Donner un entier multiple de 9 dont le produit avec 111 s'écrit sous une forme \(333 \ldots 3\)
d) Conclure quant à l'année 1998.