Sujet
Pour fêter les olympiades de l'année 2015, Lucien a une idée lumineuse.
Il veut former avec 2014 allumettes une construction de forme triangulaire à base de carrés.
Il utilisera la \(2015{ }^{\text {ème }}\) allumette pour allumer l'ensemble.
Voici le schéma d'un début possible de sa construction.
\(1^{\text {ère }}\) rangée :
\(2^{\text {ème }}\) rangée :
\(3^{\text {ème }}\) rangée :
Toutes ses allumettes sont identiques; elles mesurent 56 mm de long, elles sont de 2 mm de large au niveau du bâton et de 3 mm de large au niveau de l'extrémité soufrée (celle que l'on allume).
Comme il sait que la pose de ses allumettes sera longue, il pense qu'il est préférable de disposer sa construction sur une plaque rectangulaire de surface minimale.
Il a besoin de votre aide pour déterminer les dimensions de cette plaque.
- Combien d'allumettes sont-elles nécessaires pour réaliser les trois premières rangées?
- Combien de rangées peut-on finir avec 100 allumettes?
- Combien de rangées peut-on exactement construire avec 2014 allumettes?
- Comment disposer quatre de ses allumettes pour former un carré d'aire minimale ?
- Proposer un support rectangle contenant exactement la construction de la question 3 et d'aire minimale. Quelles dimensions proposez-vous pour ce support rectangle?
Soit un le nombre d'allumettes nécessaires pour réaliser les \(n\) premières rangées, on peut calculer directement sur une figure \(u_{3}, u_{6}\) et \(u_{7}\);
- On trouve \(u_{3}=2 \times 3^{2}+3 \times 3-1=26\).
- \(u_{6}=89, u_{7}=118\) donc on peut finir 6 rangées avec 100 allumettes.
- Plus généralement, le nombre de carrés de la \(\mathrm{n}^{\text {ème }}\) rangée est \(2 n-1\) et on a : \(u_{n}=u_{n-1}+2(2 n-1)+3\) avec \(u_{1}=4\); on en déduit : \(u_{n}-u_{n-1}=4 n+1\), puis \(u_{n}=4(1+\cdots+n)+(n-1)=2 n(n+1)+(n-1)= 2 n^{2}+3 n-1\), d'où \(u_{31}=2014\).
- Le carré d'aire minimum a pour côté \(56+2 \times 0.5=57 \mathrm{~mm}\) et pour aire \(3249 \mathrm{~mm}^{2}\).
- Si maille carrée de 57 par 57 :