Exercice 2 — Nombres abondants, déficients, parfaits

Sujet

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 , on note :

• \(D(n)\) l'ensemble des diviseurs positifs de \(n\);
• \(\sigma(n)\) la somme de tous les éléments de \(D(n)\) (donc la somme des diviseurs positifs de \(n\) ).

Par exemple \(D(10)=1 ; 2 ; 5 ; 10\) et \(\sigma(10)=1+2+5+10=18\).
On rappelle qu'un entier \(p\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

1. Calculer \(\sigma(k)\) pour tout entier \(k\) allant de 2 à 6 .
2. Pour tout entier \(n\) positif, on note \(e(n)=2 n-\sigma(n)\).

• Si \(e(n)=0\), on dit que \(n\) est parfait.
• Si \(e(n)>0\), on dit que \(n\) est déficient.
• Si \(e(n)<0\), on dit que \(n\) est abondant.
  a) Classer les entiers de 2 à 10 suivant leur nature.
  b) Trouver le \(1^{\text {er }}\) nombre abondant.
  c) Soit \(p\) un nombre premier. Calculer \(e(p)\) puis en déduire la nature de \(p\).
  d) Soit \(q\) un entier strictement positif. Vérifier que \(e\left(2^{q}\right)=1\) puis en déduire la nature de \(2^{q}\).

1. Soit \(p\) un entier tel que \(M=2^{p}-1\) est premier. On pose \(A_{p}=\frac{M(M+1)}{2}\).
   a) Donner trois exemples de tels entiers \(p\).
   b) Vérifier que, pour tout entier \(p\) tel que \(2^{p}-1\) est premier, \(A_{p}=2^{p-1}\left(2^{p}-1\right)\).
   c) Déterminer \(D\left(A_{p}\right)\) puis \(e\left(A_{p}\right)\).
   d) En déduire que \(A_{p}\) est parfait.
   e) Déterminer ainsi trois nombres parfaits.

On donne la formule \(1+2+\cdots+2^{r}=2^{r+1}-1\) pour tout entier \(r>2\).