Exercice 1 — Nid d'abeille

Sujet

Les alvéoles des ruches d'abeilles ont une ouverture de forme hexagonale et le fond de celles-ci n'est pas plan mais constitué de l'accolement de trois losanges. Le but de cet exercice est de savoir quels intérêts présente cette forme.

A : Pavage du plan

Supposons que les abeilles commencent par paver le plan pour ensuite paver l'espace : le pavage consiste en un assemblage de formes identiques permettant de remplir le plan sans trou ni chevauchement.

1. Étudions un pavage basé sur des polygones réguliers :
   a) ) Pour un polygone régulier à \(n\) côtés ( \(n \geqslant 3\) ),

Exemple d'un polygone régulier à 8 côtés (octogone)

exprimer en fonction de \(n\) la mesure en degrés des angles \(\alpha, \beta\) et \(\varphi\) (représentés sur la figure ci-contre).
b) Il s'agit de pouvoir accoler par un sommet d'un polygone donné, \(k\) polygones identiques à \(n\) côtés avec \(n \geqslant 3\) et \(k \geqslant 3\).
Que vaut alors \(k \times \varphi\) ?
En déduire \(k=\frac{2 n}{n-2}\).
c) Calculer \(k\) pour \(n=3,4,5,6,7\) et expliciter (lorsque c'est possible) pour chaque cas les polygones réguliers permettant de paver le plan avec un seul motif.
2. Soit \(P\) le périmètre d'un polygone régulier et \(A\) son aire:
a) Exprimer le périmètre \(P\) d'un carré en fonction de son aire \(A\).
b) Montrer que pour le triangle équilatéral, \(P=\frac{6 \sqrt{A}}{\sqrt{\sqrt{3}}}\).
c) Exprimer le périmètre \(P\) d'un hexagone régulier en fonction de son aire \(A\).
d) En déduire un intérêt du pavage hexagonal.

B : Le fond de l'alvéole : un fond rhombique

1. Le fond de l'alvéole des ruches d'abeilles est constitué de trois losanges identiques : comparons cette alvéole à une alvéole à fond plat.