Exercice 1 — Formule de Pick

Sujet

Partie A - Introduction

On considère une feuille quadrillée.
On dit qu'un polygone P est simple si ses sommets sont des nœuds de ce quadrillage.
Exemple 1 : (Pour plus de clarté, on n'a pas représenté le quadrillage mais uniquement les nœuds de ce quadrillage).

Georg Alexander Pick, mathématicien allemand des XIX \({ }^{\mathrm{e}}\)-XX \({ }^{\mathrm{e}}\) siècles, a mis au point une formule pour calculer l'aire d'un polygone simple.
Si l'on note \(\mathcal{A}(P)\) l'aire du polygone \(P\), la formule est de la forme :

\[ \mathcal{A}(P)=n i+\frac{m}{2} b+p . \]

où \(n, m, p\) sont trois entiers relatifs qui ne dépendent pas du polygone choisi,
\(i\) désigne le nombre de nœuds du quadrillage à l'intérieur de \(P\);
\(b\) désigne le nombre de nœuds du quadrillage situés sur le bord de \(P\).
Dans l'exemple 1 ci-dessus, on a pour le carré : \(i=1\) et \(b=8\).

1. Trois polygones simples vous sont proposés dans l'exemple 2 ci-dessous : un carré, un rectangle et un triangle rectangle.

Exemple 2