Exercice 2 — Comptage des réserves dans les fosses à « ma»

Sujet

Les fosses collectives découvertes aux îles de la Société ou encore aux Marquises (appelées ua ma dans cet archipel), servaient notamment à la conservation de la pâte fermentée du fruit de l'arbre à pain. Elles assuraient ainsi un approvisionnement constant, notamment en période de disette. Chaque famille, en dehors des énormes fosses communautaires gérées par le chef, possédait au moins une fosse à \(m a\) ( \(m a\) : nom de la pâte fermentée du fruit de l'arbre à pain conservée dans ce milieu anaérobie, consommable même après un demi-siècle d'enfouissement). La quantité de fruits de l'arbre à pain stockés dans ces fosses était comptabilisée par «paquets de 5 », formant un système de numération en base 5 . Les peuples Api (Nouvelles Hébrides) comptaient aussi en base 5. Et on trouve des traces de l'utilisation de cette base chez les peuples Peul (Afrique), Khmer (Asie), Guarani (Amérique du Sud)...
Nous n'avons plus de trace de ce système, mais nous allons imaginer que les cinq chiffres utilisés étaient, dans l'ordre croissant, de zéro à quatre : A, H, P, T et M (comme Aore, Ho'e, Piti, Toru et Maha.) Nous appellerons une «cinquaine», un paquet de cinq.
Ainsi le nombre PMT signifie \(3(T)\) unités \(+4(M)\) cinquaines \(+2(P)\) cinquaines de cinquaines, soit : \(3+4 \times 5+2 \times 5^{2}=73\).

1. Quel nombre s'écrit THAM dans ce système ?
2. Comment s'écrit 2015 dans ce système?
3. Combien de lettres sont-elles nécessaires pour écrire le nombre un million dans ce système?
4. Recopier et compléter les tables d'addition et de multiplication :

Exemple: \(\mathrm{H}+\mathrm{P}=\mathrm{T}\) et \(\mathrm{H} \times \mathrm{P}=\mathrm{P} ; \mathrm{M}+\mathrm{T}=\mathrm{HP}\) et \(\mathrm{M} \times \mathrm{T}=\mathrm{PP}\).

1. Utilisez ces deux tables pour compléter l'opération posée, sans oublier les retenues :

1. Teva dit que ce système a un côté pratique car il permet de compter sur ses doigts jusqu'à 30. Explique comment s'y prend Teva.