Exercice 3 — Algorithme de Kaprekar

Sujet

À première vue, le nombre 495 ne semble pas avoir de particularité qui le distinguerait des autres nombres. Et pourtant, ce nombre sans prétention possède une propriété remarquable.

C'est en 1949 que le mathématicien indien D. R. Kaprekar a élaboré un procédé que nous connaissons maintenant sous le nom d'algorithme de Kaprekar et qui fait apparaître cette propriété.

L'algorithme de Kaprekar :

• choisir un nombre à 3 chiffres de sorte que ces chiffres ne soient pas tous égaux
• ranger les chiffres dans l'ordre croissant pour former un nombre à 3 chiffres et dans l'ordre décroissant pour former un deuxième nombre à 3 chiffres (ne pas oublier les possibles zéros)
• soustraire le plus petit nombre au plus grand nombre
• répéter les instructions ci-dessus jusqu'à obtenir le même nombre à chaque itération.

Après avoir obtenu ce nombre, vous pouvez répéter l'opération indéfiniment, vous obtiendrez toujours le même nombre : 495. Par exemple, si nous choisissons 201 comme nombre de départ, nous obtenons alors : \(210-012=198\) puis \(981-189=792\) puis \(972-279=693\) puis \(963-369=594\) et enfin \(954-459=495\). Il a fallu 5 itérations pour obtenir 495.
À partir de là, l'opération peut être répétée et le résultat sera identique à chaque fois : \(954-459=495\).

Partie I

1. Appliquer l'algorithme de Kaprekar aux nombres 110 et 234 .
2. Pourquoi l'algorithme ne fonctionne-t-il pas lorsque tous les chiffres sont égaux ?
3. On peut écrire un nombre à 3 chiffres comme suit : \(\overline{a b c}=a \times 10^{2}+b \times 10+c\). On peut supposer \(\underline{a, b}\) et \(c\) ordonnés dans l'ordre croissant avec au moins une inégalité stricte. Démontrer que \(\overline{c b a}-\overline{a b c}\) est divisible par 99.
4. Recopier le schéma ci-dessous et le compléter dans le sens inverse des aiguilles d'une montre avec la liste croissante des nombres à 3 chiffres divisibles par 99 . (On inclut 099 pour traiter, entre autres, le cas du nombre 100).